ज्यामितिको इतिहास

1728 साइक्लोपीडियाबाट ज्यामितिको तालिका.

ज्यामिति (ग्रीक γεωμετρία ; जियो = पृथ्वी, मेट्रिया = माप) शब्द, त्रिविम सम्बन्धहरुका बारेमा बतान वाला ज्ञानका क्षेत्रका रूपमा उभरा थियो। ज्यामिति पूर्व-आधुनिक गणितका दुई क्षेत्रहरुमा भन्दा एक था; र दोस्रो क्षेत्र संख्याहरुका अध्ययनबाट सम्बन्धित थियो।

परम्परागत ज्यामिति कम्पास र स्ट्रेटएज संरचनाहरुमा केन्द्रित थियो. ज्यामितिमा क्रांतिकारी बदलाव यूक्लिड द्वारा गरे गयो जिन्हहरुने गणितीय रिगर(rigor) र स्वयंसिद्ध विधि (axiomatic method)लाई पेश गरेका थिए जुन आज पनि प्रयोगमा छ। उनको पुस्तक द एलिमा ट्स ला ई ठूलो मात्रामा अभीसम्मको सबै भन्दा प्रभावशाली पाठ्य-पुस्तक मानिन्छ र 20औं सताब्दीका मध्यसम्म पश्चिममा सबै शिक्षित मानिसहरुलाई यसको जानकारी रहन्थ्यो.

आधुनिक समयमा ज्यामितीय अवधारणाहरुलाई काल्पनिकता र जटिलताका एक उच्च स्तरसम्म सामान्यीकृत गर दिइएको छ र यीहरुमा कैलकुलस एवं काल्पनिक बीजगणितको विधीहरुको यस हदसम्म प्रयोग गरिएको छ कि यस क्षेत्रको धेरै आधुनिक शाखाहरु प्रारम्भिक ज्यामितिको संततीहरुका रूपमा बमुश्किल नैं पहचानी जान्छन्. हेर्नुहोस् बीजगणितीय ज्यामिति र गणितका क्षेत्र.

प्रारंभिक ज्यामिति

ज्यामितिको सबै भन्दा पहिले दर्जको गयी शुरुआतको पता आदिकालीन मानिसहरु - जिन्हहरुने प्राचीन सिंधु घाटी (हेर्नुहोस् हडप्पाई गणित)मा नोकरहित त्रिकोणहरुको खोज गरिएको थियो र 3000 ईसा पूर्वका छेउ-छाउ प्राचीन बेबिलोनिया (हेर्नुहोस् बेबिलोनियाई गणित) -का समयसम्म गएर लगाइन सक्छ। प्रारम्भिक ज्यामिति लंबाइयहरु, कोणहरु, क्षेत्रफलहरु, र आयतनहरुबाट सम्बन्धित आनुभविक रूपबाट आविष्कृत सिद्धान्तहरुको एक संग्रह थियो जसलाई सर्वेक्षण, निर्माण, खगोल विद्या र विभिन्न शिल्पहरुमा केही व्यावहारिक जरूरतहरुलाई पूरा गर्नको लागि विकसित गरिएको थियो. यीहरु मध्ये केही सिद्धान्त आश्चर्यजनक रूपबाट जटिल थिए र एक आधुनिक गणितज्ञको लागि कैलकुलसका प्रयोगका बिना तिनीहरुमध्ये केही सिद्धान्तोको उपयोग गर्न मुश्किल साबित हुन सक्छ। उदाहरणको लागि, मिस्रवासी र बेबिलोनियाई दुइटै पाइथागोरस प्रमेयका संस्करणहरुबाट पाइथागोरस भन्दा 1500 साल पहिलेबाट नैं परिचित थे; मिस्त्र वासीहरुका नजिकै एक वर्गाकार पिरामिडका फ्रस्टमका आयतनको लागि एक सही फर्मूला मौजूद था; बेबिलोनियाई मानिसहरुका नजिकै एक त्रिकोणमितिको तालिका मौजूद थियो.

मिस्र (ईजिप्त)को ज्यामिति

मुख्य लेख: Egyptian mathematics

प्राचीन मिस्रका मानिसहरु यो जान्थे कि ती एक वृत्तका क्षेत्रफलको अनुमान निम्नलिखित प्रकारले लागयो सक्दछन्:

वृत्तको क्षेत्रफल ≈ [(व्यास) x 8/9]².

आमेस पेपिरसको समस्या 50मा एक यस्तो नियमका अनुसार कि क्षेत्रफल वृत्तका व्यासका 8/9का वर्गका बराबर हुन्छ, एक वृत्तका क्षेत्रफलको गणनाको लागि यी विधीहरुको उपयोग गरिन्छ। यसमा मानिन्छ कि πको मान 0.63 प्रतिशत भन्दा केही अधिकको त्रुटि सहित 4×(8/9)² (या 3.160493...) छ। यो मान बेबिलोनियाई गणना भन्दा केही कम सही थियो (25/8 = 3.125, 0.53 प्रतिशतका अंदर) किन भनें अन्यथा यो आर्कमिडीजका 211875/67441 = 3.14163का लगभग सही अनुमानबाट अगाड़ि ननिकल पाएकोथियो जसमा 10,000मा सिर्फ 1 भन्दा अधिकको त्रुटि थियो).

दिलचस्प कुरा यो छ कि आमेस पाए (pi)को लागि आधुनिक 22/7का एक लगभग सही अनुमानबाट परिचित थिए र तीहरुले एक हेकट(hekat)लाई विभाजित गर्नको लागि यसको उपयोग गरेका थिए, हेकट x 22/x x 7/22 = हेकट; हुनत आमेस एक सिलेंडरमा पाए जाने वाला आफ्नो हेकट आयतनको गणनाको लागि पाए (pi)का परम्परागत मान 256/81को उपयोग गर्न जारी रखा.

समस्या 48मा किनाराको 9 इकाइयहरु सहित एक वर्गको उपयोग गर्न शामिल थियो। यस वर्गलाई एक 3x3का ग्रिडमा काट दिइएको थियो. कोनेका वर्गहरुका विकर्णलाई 63 इकाइयहरुका एक क्षेत्रफल सहित एक अनियमित अष्टकोण बनाउनको लागि प्रयोग गरिएको थियो. यसले πको लागि एक दोस्रो मान 3.111... दियो.

दुइटै समस्याहरु एक साथ पाए (Pi)को लागि 3.11 र 3.16का बीचका मानहरुका एक विस्तारलाई निर्देशित गर्दछन्.

मास्को गणितीय पेपिरसमा समस्या 14 एक पिरामिडका फ्रस्टमको आयतन निकालनको लागि एकमात्र प्राचीन उदाहरण दिन्छ, जसको सही फर्मूला यस प्रकार है:

$V = \frac{1}{3} h(x_1^2 + x_1 x_2 +x_2^2).$

बेबीलोनको ज्यामिति

मुख्य लेख: Babylonian mathematics

बेबीलोनका मानिसहरु संभवतः क्षेत्रफलहरु र आयतनहरुको मापको लागि सामान्य नियमहरुलाई जान्थे। तीहरुले एक वृत्तको परिधिको मापलाई व्यासका तीन गुनाका रूपमा र क्षेत्रफललाई परिधिका वर्गका बारहवें भागका रूपमा नापेको थियो जुन ती स्थितिमा सही छता जब πको मान 3 माना जाता. एक सिलेंडरका आयतनलाई आधार र उंचाईका एक प्रोडक्टका रूपमा लियोइेको थियो, हुनत एक शंकुका फ्रस्टम (छित्रक)को आयतन या एक पिरामिडका वर्गलाई गलत तरिकाबाट उंचाई र आधारहरुका जोडका आधाका प्रोडक्टका रूपमा लियोइेको थियो। पाइथागोरस प्रमेयका बारेमा बेबीलोनका मानिसहरुलाई पनि जानकारी थियो. यसका बाहेक हालैको एक खोजमा एक टेबलहरुटमा π का मानलाई 3 र 1/8का रूपमा उपयोग गरिएको थियो. बेबीलोनका मानिसहरु बेबिलोनियाई मीलको लागि पनि जाने जान्छन् जुन आजका लगभग सात मीलको टाड़ाका बराबर टाड़ाको एक माप थियो. टाड़ाीहरुको लागि यस मापलाई अंततः सूर्यको यात्रालाई नापनको लागि टाइम-माइलमा बदल दिइएको थियो, र यसैले यो समयको प्रतिनिधित्व गर्दछ।

यूनानी ज्यामिति

हेर्नुहोस: Greek mathematics

पारंपरिक यूनानी ज्यामिति

प्राचीन यूनानी गणितज्ञहरुको लागि ज्यामिति तीका विज्ञानहरुका मुकुटको मोती थियो, जुन पद्धतिको एक यस्तो पूर्णता र सटीकतासम्म पुग्ेको थियो जसलाई तीका ज्ञानको कुनै पनि अन्य शाखाले हासिल नगरेका थिए. तीहरुले ज्यामितिको श्रृंखलालाई धेरै नयाँ प्रकारका आंकडहरु, मोडहरु, सतहहरु र ठोसहरुमा विस्तारित गरे; तीहरुले यसको प्रणालीलाई ट्रायल-हरुड-एररबाट तार्किक कटौतीमा बदल दियो; तीहरुले यो स्वीकार गरे कि ज्यामिति "अपरिवर्तनशील स्वरूपहरु" या अमूर्तताको अध्ययन गर्दछ जसका लागि भौतिक वस्तुहरु केवल अनुमान छन्; र तीहरुले "स्वयंसिद्ध विधि"का विचारलाई विकसित गरे जुन आज पनि उपयोगमा छ।

थेल्स र पाइथागोरस

पाइथागोरस प्रमेय: a2 + b2 = c2

मिलेटस (जो अब दक्षिण-पश्चिमी तुर्कीमा है)का थेल्स (635-543 ईसा पूर्व) पहिले व्यक्ति थिए जसलाई गणितमा घटाव (कटौती)को लागि जिम्मेदार ठहरायाइयो छ। यस्तो पाँच ज्यामितीय प्रस्ताव छन् जसका लागि तीहरुले घटाव सम्बन्धी प्रमाण दिए, हुनत तीका प्रमाण बच नपाए. आयोनिया र त्यस पछि इटली, जहाँ ती समय यूनानी मानिसहरु बसेका भएका थिए, वहाँका पाइथागोरस (582-496 ई.पू.) संभवतः थेल्सका एक छात्र थिए र तीहरुले बेबीलोन एवं इजिप्त (मिस्र)को यात्रा गरिएको थियो. त्यो प्रमेय जुन तीका नामबाट छ संभवतः यो उनको खोज नरही छगी, किन भनें शायद ती यसका लागि घटाव सम्बन्धी प्रमाण दिन वाला पहिले व्यक्ति थिए। तीहरुले गणित, संगीत र दर्शनको अध्ययन गर्नको लागि आफ्नो छेउ-छाउ छात्रहरुका एक समूहलाई एकत्र गरे र एक साथ मिलेर तीहरुले तिनीहरुमध्ये धेरैतर चीजहरुको खोज गर्‍यो, जसलाई आज हाई स्कूलका छात्र आफ्नो ज्यामितिका पाठ्यक्रमहरुमा पढ़्दछन्. यसका बाहेक तीहरुले अतुलनीय लंबाइयहरु र अतार्किक संख्याहरुको गहन खोज गरे। (यसको कुनै प्रमाण छैन कि थेल्सले कुनै निगमनात्मक (डिडक्टिव) प्रमाण प्रस्तुत गरि थिए र वास्तवमा निगमनात्मक गणितीय साक्ष्य पार्मेमाइड्स पछिसम्म देखाई नदिए थिए। सबै भन्दा ठूलो कुरा छ कि थेल्सका बारेमा हामी कुल मिलाएर यही कह सक्दछन् कि तीहरुले यूनानीहरुका अगाडी विभिन्न ज्यामितीय प्रमेयहरुको शुरुवात गरे। यो विचार कि गणित आफ्नो शुरुआतका समयबाट नैं निगमनात्मक (डिडक्टिव) थियो, यो गलत छ। थेल्सका समय गणित विवेचनात्मक थियो। यसको मतलब यो छ कि थेल्सले अनुभवजन्य र प्रत्यक्ष प्रमाण "प्रस्तुत" गरे हुनेछ, किन भनें निगमनात्मक प्रमाण छैन).

प्लेटहरु

दार्शनिक प्लेटहरु (427-347 ई.पू.) यूनानीहरुको लागि सबै भन्दा सम्मानित हस्ती थिए जिन्हहरुने आफ्नो सुप्रसिद्ध स्कूलका प्रवेश द्वारका माथि लेखा थियो, "यहाँ आएर कुनै पनि ज्यामितिबाट अनभिज्ञ नरहेगा." हुनत ती स्वयं एक गणितज्ञ थिएनन् किन भनें गणितका बारेमा तीका विचारहरुको एकदम प्रभाव थियो। यसैले गणितज्ञहरुले उनको यस धारणालाई स्वीकार गरे कि ज्यामितिलाई कम्पास र स्ट्रेटएजका अतिरिक्त कुनै पनि उपकरणको प्रयोग गर्नु हुँदैन - मापक उपकरणहरु जस्तै कि एक चिह्नित रूलर या एक कोणमापकको कहिल्यै छैन, किन भने यो कर्मकारहरुका उपकरण हुन्छन्, कुनै विद्वानका ला यक छैन. यो उक्ति संभावित कम्पास र स्ट्रेटएज निर्माणहरु र तीन परम्परागत निर्माण सम्बन्धी समस्याहरुका गहन अध्ययनको कारण बनी: कुनै कोणलाई तीन भागहरुमा बांटने, कुनै दिए गए घनका आयतनको दोगुना घनको निर्माण गर्न र कुनै दिए गए वृत्तका क्षेत्रफलका बराबर एक वर्गको निर्माण गर्नमा यी उपकरणहरुको उपयोग कसरि गर्नुहोस्. यी निर्माणहरुको असंभवताका प्रमाणहरुलाई अंततः 19औं सताब्दीमा हासिलेर लियोइयो जसबाट वास्तविक संख्या प्रणालीको गहरी संरचनाका संदर्भमा महत्वपूर्ण सिद्धान्तहरुको विकास भयो। प्लेटहरुका सबै भन्दा ठूलो शिष्य अरस्तू (384-322 ई.पू.)ले ती निगमनात्मक प्रमाणहरुमा उपयोग गरिएको(थियो) तर्कका तरीकहरु मा एक ग्रन्थ लेखा थियो (हेर्नुहोस् लजिक) जसमा 19औं सदीसम्म एकदम सुधार नगरिएको थियो.

हेलेनिस्टिक ज्यामिति

यूक्लिड

औक्सफोर्ड यूनिवर्सिटीका प्राकृतिक इतिहास संग्रहालयमा यूक्लिडको प्रतिमा.

ज्यामिति पढ़ाती भए महिला.यूक्लिडका तत्वहरुका एक मध्ययुगीन अनुवादको शुरुआतमा चित्रण, (सी. 1310)

यूक्लिड (सी. 325-265 ई.पू.), जसको सम्बन्ध एलेग्जेंड्रियाबाट थियो, संभवतः प्लेटहरुका छात्रहरुमा भन्दा कुनै एकका छात्र थिए, तीहरुले द एलिमा ट्स अफ ज्योमेट्री शीर्षकबाट 13 पुस्तकहरु (अध्यायहरु)मा एक ग्रन्थ लेखा थियो, जसमा तीहरुले ज्यामितिलाई एक आदर्श स्वयंसिद्ध स्वरूपमा प्रस्तुत गरेका थिए, जसलाई यूक्लिडियन ज्यामितिका रूपमा जान गया. यो ग्रन्थ ती समयका हेलेनिस्टिक गणितज्ञहरुलाई ज्यामितिका बारेमा ज्ञात समस्त जानकारीहरुको एक संग्रह छैन; यूक्लिडले स्वयं ज्यामितिमा आठ र अधिक उन्नत पुस्तकहरुको रचना गरिएको थियो. हामी दोस्रो संदर्भहरुबाट यो जान्दछन् कि यूक्लिडको पुस्तक ज्यामितिको पहिलो प्रारम्भिक पाठ्यपुस्तक नथियो बल्कि यो यति अधिक उत्कृष्ट थियो कि दूसरहरुले यसको उपयोग नगरे र अंततः यसलाई खो दियो. तिनलाई इजिप्त (मिस्र)का राजा टोलेमी प्रथमद्वारा एलेग्जेंड्रिया विश्वविद्यालयमा ला या गएको थियो.

द एलिमा ट्सको शुरुवात शब्दहरु, मौलिक ज्यामितीय सिद्धान्तहरु (जसलाई एग्जियोम्स या पोसुलेट्स भनाइयो) र सामान्य मात्रात्मक सिद्धान्तहरु (जसलाई कमन नोशंस भनाइयो)को परिभाषाहरु सहित भए जिनसे बाकी सबै ज्यामितिको उत्पत्तिको तार्किक रूपबाट पता लगाइन सक्छ। उनको पाँच सूक्तिहरु (एग्जिओम्स) निम्नलिखित छन्, जसको सविस्तार व्याख्या केही हदसम्म अङ्ग्रेजीलाई पढ़नेमा सजिलो बनाउनको लागिको गयी छ।

1. किन्हीं दुई बिन्दुहरुलाई एक सीधी रेखाबाट जोडयो जान सक्छ्न्.
2. कुनै पनि सीमित सीधी रेखालाई एक सीधी रेखामा अगाड़ि बढ़ाइन सक्छ।
3. कुनै पनि केन्द्र र कुनै पनि त्रिज्या भन्दा एक वृत्त बनाए जान सक्छ।
4. सबै समकोण एक दोस्रोका बराबर हुन्छन्.
5. यदि एक समतलमा दुई सीधी रेखाहरुलाई एक अन्य सीधी रेखा काट्दछ (जसे ट्रांसवर्सल (अनुप्रस्थ) भन्दछन्) र दुई रेखाहरुका बीचका आंतरिक कोण एवं अनुप्रस्थका एक पटि लिटी अनुप्रस्थ रेखाको जोड दुई समकोणहरुबाट कम हुन्छ तब अनुप्रस्थका ती पटि विस्तारितको गयी दुई रेखाहरु एक दोस्रोलाई काटेंगी

(जसे समानांतर अभिधारणा पनि भन्दछन्).

आर्किमिडीज

साइराक्यूज, सिसिली, जब यो एक ग्रीक शहर-राज्य थियो, यहाँका निवासी आर्किमिडीज (287-212 ईसा पूर्व)लाई अक्सर यूनानी गणितज्ञहरुमा सबै भन्दा महान मानिन्छ र यहाँसम्म कि कहिले काँही तिनलाई अभीसम्मका तीन सबै भन्दा महान गणितज्ञहरुमा भन्दा एक (आइजैक न्यूटन र कार्ल फ्रेडरिक गस सहित) भनिन्छ। यदि ती एक गणितज्ञ हुँदैनन्, फेरि पनि तिनलाई एक महान भौतिक विज्ञानी, ईन्जिनियर र आविष्कारकका रूपमा सम्झना गरे जाता. आफ्नो गणितमा तीहरुले विश्लेषणात्मक ज्यामितिको समन्वय प्रणालीहरुका एकदम समान विधीहरु र इंटीग्रल कैलकुलसको प्रतिबंधक प्रक्रियालाई विकसित गरेका थिए. यी क्षेत्रहरुको रचनामा केवल एक नैं तत्त्वको कमी, एक प्रभावी बीजगणितीय संकेत गरिएको थियो, जसमा उनको अवधारणाहरुलाई व्यक्त गरे जानसक्थ्यो।

आर्किमिडीज पछि

अधिकांश मध्ययुगीन विद्वानहरु द्वारा ज्यामिति परमात्माबाट जुडी मनी जाती थियो.13औं सदीको यस पांडुलिपिमा कंपास, भगवानका निर्माण कार्यको एक प्रतीक छ.

आर्किमिडीज पछि हेलेनिस्टिक गणितमा गिरावट आनी शुरू भयो। हुनत केही सानो हस्तीहरुको आन अझै बाकी थियो किन भनें ज्यामितिको स्वर्ण युग समाप्त भएको थियो. कमा ट्री औन द फर्स्ट बुक अफ यूक्लिड का लेखक (प्रोक्लस (410-485) हेलेनिस्टिक ज्यामितिको अन्तिम महत्वपूर्ण हस्तीहरुमा भन्दा एक थिए। ती एक निपुण ज्यामितिकार थिए किन भनें यसले पनि अधिक महत्वपूर्ण कुरा यो छ कि ती आफ्नो भन्दा पहिले गरिएको(थियो) कार्यहरुका राम्रो टीकाकार थिए। ती कार्यहरु मा बाट धेरैतर आधुनिक समयसम्म अस्तित्वमा नबचे छन् र तीका बारेमा जानकारी हामीलाई यिनको टिप्पणीका माध्यमबाट मिलन्छ। ग्रीक शहर-राज्यहरुका उत्तराधिकारी र यीमा अधिपत्य कायम गर्न वाला रोमन गणराज्य र साम्राज्यले उत्कृष्ट इंजीनियरहरुलाई तैयार गरे किन भनें यीहरु मध्ये कुनै पनि उल्लेखनीय गणितज्ञ थिएनन्.

एलेग्जेंड्रियाका विशाल पुस्तकालयलाई त्यस पछि जला दिइएको थियो. इतिहासकारहरुका बीच एक साधारण सहमति बढ़ रही छ कि एलेक्जेंड्रियाका पुस्तकालयलाई संभवतः धेरै विनाशकारी घटनाहरुको सामना गर्न पर्ेको थियो, किन भनें यो कि चौथी सताब्दीमा एलेक्जेंड्रियाका पगान (मूर्तिपूजक) मन्दिरहरुलाई नष्ट गरे जान शायद सबै भन्दा विनाशकारी र अन्तिम घटना थियो. ती विनाशका प्रमाण सबै भन्दा अधिक निश्चित र सुरक्षित छन्. कैसरको आक्रमण पनि बंदरगाहबाट सटे एक गोदाममा मौजूद तकरीबन 40,000-70,000 स्क्रलहरुका नष्ट हुनेको कारण बनेको थियो (जस्तो कि ल्युसियानो कैनाफोराको तर्क छ, यो निर्यातका इरादेबाट पुस्तकालयद्वारा तैयारको गयी संभावित प्रतिहरु थिइन्) किन भनें यो संभव छैन कि तीहरुले पुस्तकालय या संग्रहालयलाई प्रभावित गरेका थिए, यो देखते भएका कि दुइटै पछिमा अस्तित्वमा हुनेका पर्याप्त सबूत मौजूद छन्.

गृह युद्ध, रख-रखावमा घटता निवेश र नयाँ स्क्रलहरुको अधिग्रहण र गैर-धार्मिक गतिविधीहरुमा साधारण गरिमा कम छती दिलचस्पीले संभवतः पुस्तकालयमा, विशेष गरिमा चौथी सताब्दीमा उपलब्ध सामग्रीका ढांचेमा गिरावटमा योगदान दिेको थियो। सिरेपियमलाई निश्चित रूपबाट थियोफिलसद्वारा वर्ष 391मा नष्ट गर दिइएको थियो र संग्रहालय एवं पुस्तकालय पनि संभवतः त्यसै अभियानको शिकार बन्ेको थियो।

भारतीय ज्यामिति

हेर्नुहोस: Indian mathematics

वैदिक काल

देवनागरीमा ऋग्वेद पांडुलिपि.

सतपथ ब्रह्माण्ड (9औं शताब्दी ईसा पूर्व)मा सुल्ब सूत्रको तरिका धार्मिक ज्यामितीय निर्माणको लागि नियमहरुलाई शामिलेरे गयो छ।

सुल्ब सूत्र (वैदिक संस्कृतमा शाब्दिक रूपबाट, "स्वरहरुको सूक्तिहरु - एफोरिज्म्स अफ द कर्ड") (सी. 700-400 ईसा पूर्व)मा यज्ञाग्निको वेदीहरुका निर्माणका नियमहरुको सूची दिइएको छ। सुल्ब सूत्र मा शामिल धेरैतर गणितीय समस्याहरु "एक एकल धार्मिक आवश्यकता"बाट निकली छन् जुन विभिन्न आकारकहरु किन भनें एक सामान स्थान लिन वाला अग्निको वेदीहरुका निर्माणबाट सम्बन्धित छन्. वेदीहरुलाई पकी भए ईंटको पाँच परतहरुमा बनाए जानेको आवश्यक्थ्यो, जसमा अगाड़ि यो शर्त थियो कि प्रत्येक परत 200 ईंटहरुको छ र कुनै पनि दुइ सटी भए परतहरुमा ईंटहरुको समनुरूप व्यवस्था गरेनगयी छ.

(Hayashi 2005, p. 363)का अनुसार, सुल्ब सूत्र मा "दुनियामा पाइथागोरसका प्रमेयको सबै भन्दा प्रारंभिक प्रचलित मौखिक व्याख्या शामिल छ, हुनत यसका बारेमा प्राचीन बेबीलोन वासीहरुलाई पहिलेबाट नैं जानकारी थियो."

कुनै अंडाकार (आयताकार) आकृतिको कोणीय (विकर्ण) सूत्र (akṣṇayā-rajju ) ती दुइटैलाई उत्पन्न गर्दछ जुन किनारा (पार्श्वमनी ) (pārśvamāni) वाला र क्षैतिज (tiryaṇmānī ) <सूत्र> अलग-अलग उत्पन्न गर्दछन्."

किन कि कथन एक सूत्र (sūtra) छ, यो आवश्यक रूपबाट संपीडित छ र सूत्रहरु(रस्सी) द्वारा जुन प्राप्त हुन्छ उनको व्याख्या नगरिएको छ, किन भनें संदर्भ स्पष्ट रूपबाट उनको लंबाइयहरु मा निर्मित वर्ग क्षेत्रलाई बताउँछ र यसलाई संभवतः एक शिक्षकद्वारा छात्रलाई सम्झियाइयो हुनेछ।

इनमा पाइथागोरसका ट्रिपल्स को सूचिहरु शामिल छन् जुन डायोफेंटाइन समीकरणहरुका विशेष मामला छन्. इनमा वृत्तलाई वर्गमा बदलने र "वर्गलाई वृत्तमा बदलने"का बारेमा कथन (जसका लगभग हुनेका बारेमा हामी परोक्ष रूपबाट जान्दछन्) पनि मौजूद छन्.

बौधायन (सी. 8औं सताब्दी ईसा पूर्व)ले सबै भन्दा प्रसिद्ध सुल्ब सूत्र , बौधायन सुल्ब सूत्रको रचना गरिएको थियो जसमा सरल पाइथागोरस सम्बन्धी ट्रिपल्सका उदाहरण जस्तै कि: $(3, 4, 5)$, $(5, 12, 13)$, $(8, 15, 17)$, $(7, 24, 25)$, र $(12, 35, 37)$ शामिल छन्, इससहित-साथ एक वर्गका किनारहरुको लागि पाइथागोरस सम्बन्धी प्रमेयको एक कथन पनि छ: "त्यो डोरी जुन एक वर्गका विकर्ण सहित-साथ खींची जान्छ त्यो वास्तविक वर्गका आकारकहरु दोगुना क्षेत्रफल दिन्छ।" यसमा पाइथागोरस प्रमेय (आयतका किनारहरुको लागि)को सामान्य कथन पनि शामिल छ: "एक आयतका विकर्णको लम्बाई सहित-साथ खींची गयी डोरी त्यो क्षेत्रफल बनाउँछ जुन ऊर्ध्वाधर र क्षैतिज किनारा साथ मिलेर बनाउँछन्."

गणितज्ञ एस.जी. डानीका अनुसार सीए. 1850 ईसा पूर्वमा लेखहरु गए बेबीलोनियाई क्यूनीफर्म टेबलहरुट प्लिम्पटन 322मा 1850 बीसीई(BCE) मा केही ठूलो प्रविष्टीहरु सहित (13500, 12709, 18541), जुन एक आदिकालिक ट्रिपल छ, पंद्रह पाइथागोरस ट्रिपल्स शामिल छन् जुन विशेष रूपबाट यो संकेत दे्दछन् कि यस विषयमा 1850 बीसीई(BCE)मा मेसोपोटामियामा एक परिष्कृत समझ कायम थियो."चूंकि यो टेबलहरुट सुल्ब सूत्र कालबाट धेरै सदीहरु पहिलेका छन्, केही ट्रिपल्सका प्रासंगिक स्वरूपलाई ध्यानमा राखएर यो आषा गर्न जायज छ कि यसै तरहको समझ भारतमा पनि रही छगी. डानी यसले अगाड़ि भन्दछन्:

"चूंकि सुल्वसूत्रको मुख्य उद्देश्य वेदीहरुको संरचना र तीमा शामिल ज्यामितीय सिद्धान्तहरुको वर्णन गर्न थियो, पाइथागोरसका ट्रिपल्सको विषय, यहाँसम्म कि यदि यसलाई राम्रो तरिका समझ लियो जाता, शायद फेरि पनि यसलाई सुल्वसूत्र मा बतायाइएन छता. सुल्वसूत्रहरु मा ट्रिपल्सको मौजूदगीको तुल्नु ती गणित सेको जानसक्दछ जसलाई कुनै पनि वास्तुकला या अन्य सम्बन्धित व्यावहारिक क्षेत्रमा लेखी एक परिचयात्मक पुस्तकमा हेर्न सकिन्छ, र यसको सम्बन्ध सीधा गरिमा ती समय ती विषयका संपूर्ण ज्ञानबाट नहुनेछ। किन भने दुर्भाग्यबाट कुनै अन्य समकालीन स्रोत पायाइएन छ यसैले यस समस्याको समाधान संतुष्टि पूर्ण ढंगबाट खोज पाउन कहिल्यै पनि संभव नहुन सक्छ।

कुल मिलाएर तीन सुल्ब सूत्रहरुको रचनाको गएकोथियो. मानव (एफएल. 750-650 ईसा पूर्व) द्वारा रचित शेष दुइ मानव सुल्ब सूत्र र अपस्तंब (सी. 600 ईसा पूर्व) द्वारा रचित अपस्तंब सुल्ब सूत्र मा बौधायन सूत्र सुल्ब का समान परिणाम .

उत्तम काल (क्लासिकल पिउँरियड)

बखशाली पांडुलिपिमा केही गिनी-चुनी ज्यामितिक समस्याहरु (अनियमित ठोस पदार्थहरुको मात्राबाट सम्बन्धित समस्याहरु सहित) मौजूद छन्. बखशाली पांडुलिपि पनि "शून्यको लागि एक बिंदु सहित एक दशमलव स्थानको मूल्य प्रणालीको प्रयोग गर्छ।" आर्यभट्टको आर्यभटीय (499 सीई)मा पनि क्षेत्रफलहरु र मात्राहरुको गणना शामिल छ।

ब्रह्मगुप्तले 628 सीई(CE).मा आफ्नो खगोलीय पुस्तकBrāhma Sphuṭa Siddhāntaको रचना गरिएको थियो जसका अध्याय 12मा 66 संस्कृतका पद्य शामिल छन् जसलाई दुई खण्डहरुमा बांटा गएको थियो: "मौलिक अपरेशन" (घनमूल, भिन्न, परिमाण एवं अनुपात र विनिमय सहित) र "व्यावहारिक गणित" (मिश्रण, गणितीय श्रृंखलाहरु, साधारण आंकडा, ईंटहरुको ढ़ेर लगाउन, काठ काटन र अनाज एकत्र गर्न सहित). दोस्रो खंडमा तीहरुले एक चक्रीय चतुर्भुजका विकर्णमा आफ्नो प्रसिद्ध प्रमेयको उल्लेख गरेका थिए.

ब्रह्मगुप्तको प्रमेय: यदि एक चक्रीय चतुर्भुजमा यस्तो विकर्ण मौजूद हुन्छन् जुन एक दोस्रोका लंबवत छ, त चतुर्भुजका कुनै पनि पक्षका विकर्णहरुलाई आपसमा काटन वाला बिंदुबाट खींची गयी लम्ब रेखा विपरीत पक्षहरुलाई संधै दुई भागहरुमा बांटन्छ।

अध्याय 12मा पनि चक्रीय चतुर्भुजका क्षेत्रफलको लागि एक सूत्र (हेरोनका सूत्रको एक सामान्यीकरण) सहित-साथ तर्कसंगत (रेशनल) त्रिकोणहरु (यानी तर्कसंगत (रेशनल) पक्षहरु र तर्कसंगत (रेशनल) क्षेत्रफलहरु वाला त्रिकोणहरु)का एक संपूर्ण विवरणलाई शामिलेरे गयो छ।

ब्रह्मगुप्तको सूत्र: क्रमशः ए , बी , सी र डी लंबाइयहरुका पक्षहरु वाला एक चतुर्भुजको क्षेत्रफल ए यस प्रकार दिइएको छ

$A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

जहाँ अर्द्धपरिमाप, एसको मान यस प्रकार छ: $s=\frac{a+b+c+d}{2}.$

तर्कसंगत त्रिकोणहरु मा ब्रह्मगुप्तको प्रमेय: $a, b, c$ तर्कसंगत पक्षहरु वाला एक त्रिकोण र तर्कसंगत क्षेत्रफल निम्नलिखित स्वरूपको हुन्छ:

$a = \frac{u^2}{v}+v, \ \ b=\frac{u^2}{w}+w, \ \ c=\frac{u^2}{v}+\frac{u^2}{w} - (v+w)$

केहि तर्कसंगत संख्याहरु $u, v,$ र $w$को लागि.

चीनी ज्यामिति

हेर्नुहोस: Chinese mathematics

179 ई.मा पहिलो पल्ट संकलित गरिएको(थियो) द नाइन चैप्टर्स औन द मैथेमेटिकल आर्ट (गणितीय कलाका नौ अध्याय), लियू भएद्वारा तेस्रो सताब्दीमा टिप्पणी सहित.

चीनमा पहिलो निर्णायक ज्यामितीय रचना (या कमबाट कम सबै भन्दा पुरानो मौजूद रचना) प्रारम्भिक उपयोगितावादी दार्शनिक मोजी (470 ई.पू.-390 ई.पू.)का मोहिस्ट सिद्धान्त, मो जिंग का रूपमा थियो. यसलाई उनको मृत्युका वर्षहरु पछि तीका परवर्ती अनुयायीहरु द्वारा 330 ई.पू.का छेउ-छाउ संकलित गरिएको थियो. हुनत मो जिंग चीनमा ज्यामितिमा लेखी गयी सबै भन्दा पुरानो मौजूदा पुस्तक छ, यस कुराको पनि संभावना छ कि यसले पुरानो लेखित सामाग्री अस्तित्वमा छ। हुनत 'किन(Qin)' राजवंशका शासक किन(Qin) शि भयोंग (आर. 221 ई.पू.-210 ई.पू.)को राजनैतिक युक्तिमा पुस्तकहरुलाई जलाए जानेको कुख्यात घटनाका कारण तीका समयका परिष्कृत हुने भन्दा पहिले ठूलो संख्यामा लेखित साहित्यको रचनाको गएकोथियो. यसका बाहेक मो जिंग गणितमा ती ज्यामितीय अवधारणाहरुलाई प्रस्तुत गर्दछ जुन शायद यति अधित उन्नत थिए कि उनको कुनै पिछला ज्यामितीय आधार नथियो या गणितीय पृष्ठभूमि नथियो जसमा कार्य गरे जानसके.

मो जिंग मा भौतिक विज्ञानबाट जुडे धेरै क्षेत्रहरुका विभिन्न पहलुहरुको वर्णन गरे गेको थियो र साथ नैं यो गणितमा सूचनाहरुको एक सानो सा संग्रह पनि प्रस्तुत कर्थ्यो। यसले ज्यामितीय बिंदुको एक 'परमाण्विक' परिभाषा यस प्रकारले दिएका थिए कि एक रेखालाई धेरै भागहरुमा अलग-अलग गरे जान सक्छ र जस भागको कुनै शेष भाग नहुनेछ (यानी यसलाई र छोटे-छोटे भागहरुमा विभाजित नगरे जान सक्छ) र यस प्रकार ती रेखाको अन्तिम सिरा एक बिंदुका रूपमा हुनेछ। धेरै हदसम्म यूक्लिडको पहिलो र तेस्रो परिभाषाहरु र प्लेटहरुको 'एक रेखाको शुरुआत'को तरिका मो जिंग ले भन्ेको थियो कि "एक बिंदु प्रसवका बेला सिरका देखाई दिनको तरिका (लाइन के) अन्तिम सिरेमा या यसको शुरुआतमा मौजूद हुन्छ। (यसको अदृश्यताको तरह) यसमा कुनै पनि समानता छैन।" डेमोक्रिटसका परमाणुविदहरुको तरिका मो जिंग ले भन्ेको थियो कि बिंदु एक सबै भन्दा सानो एकाइ छ र यसलाई दुई भागहरुमा नकाटयो जान सक्छ, किन भने "शून्य"का दुई तुकडे नगरि जानसक्त छ। खाली स्थान र घिरे भएका स्थानका सिद्धान्तहरु सहित-साथ समानांतर रेखाहरु को लागि र लंबाइयहरुको तुल्नु को लागि परिभाषाहरु दिंदै, यसमा भनाइेको थियो कि समान लंबाईको दुई रेखाहरु संधै एक नैं स्थान मा समाप्त हहरुगी. यसमा यस तथ्यको पनि वर्णन गरे गेको थियो कि मोटाईको गुणवत्ताका बगैर समतलहरुलाई बढ़ाया नजान सक्छ किन भने ती आपसमा एक दोस्रोलाई स्पर्श नगर सक्दछन्. यस पुस्तकमा मात्रा (आयतन)को परिभाषा सहित-साथ परिधि, व्यास र त्रिज्याको परिभाषाहरु दी गएकोथिइन्.

दी सी आइल्याण्ड गणितीय मैनुअल, लियू भए, तेस्रो सताब्दी.

चीनमा हान राजवंश (202 ई.पू.-220 ई.)को अवधिमा गणितको एक नया उत्कर्ष देखिएको. ज्यामितीय प्रगतिलाई प्रस्तुत गर्न वाला सबै भन्दा पुराना चीनी गणितीय ग्रंथहरुमा भन्दा एक पश्चिमी हान युगका बेला 186 ई.पू.को शुआन शू शू (Suàn shù shū) थियो। गणितज्ञ, आविष्कारक र खगोल विज्ञानी झांग हेंग (78-139 ई.)ले गणितीय समस्याहरुलाई सुलझानेको लागि ज्यामितीय सूत्रहरुको प्रयोग गरेका थिए. हुनत मोटे गरिमा पाई (π)का अनुमान झाऊ ली (ईसा पूर्व दोस्रो सताब्दीमा संकलित) मा दिए गए थिए, त्यो झांग हेंग नैं थिए जिन्हहरुने पाएको लागि एक कहीं अधिक सटीक सूत्र तैयार गर्नमा सबै भन्दा पहिले एक संयुक्त प्रयास गरेका थिए. बदलेमा यसलाई झू चहरुगझी (429-500 ई.) जस्तै पछिका चीनीहरु द्वारा कहीं अधिक सटीक बनाएइयो हुनेछ। झांग हेंगले पाए (pi)को लगभग समीपको अनुमान 730/232 (या लगभग 3.1466)का रूपमा लगाएकोथियो, हुनत तीहरुले एक गोलेको आयतन निकालनको लागि यसको सट्टा 10का वर्गमूल (या लगभग 3.162)को उपयोग गर पाएका एक अन्य सूत्रको प्रयोग गरेका थिए. झू चहरुगझीको सर्वोत्तम अनुमान 3.1415926 र 3.1415927का बीचको थियो जसमा ³⁵⁵/₁₁₃ (密率, मिलु (Milü), विस्तृत अनुमान) र ²²/₇ (约率, युलू (Yuelü), मोटे गरिमा अनुमान) एक अन्य उल्लेखनीय अनुमान थियो। बादको रचनाहरुको तुल्नुमा फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रांसिस्कस विएटा (1540-1603) द्वारा दिइएको पाएको सूत्र झूका अनुमानहरुका मध्यको थियो।

नाइन चैप्टर्स औन द मैथेमेटिकल आर्ट (गणितीय कलाका नौ अध्याय)

नाइन चैप्टर्स औन द मैथेमेटिकल आर्ट (गणितीय कलाका नौ अध्याय) , जसको शीर्षक पहिलो पल्ट 179 ई.मा एक कांस्य शिलालेखमा देख्यो गएको थियो, यसमा काओ वेई साम्राज्यका तेस्रो सताब्दीका गणितज्ञ लियु भएद्वारा सम्पादन र टिपण्णीको गएकोथियो. यस पुस्तकमा को यस्तो समस्याहरु शामिलको गएकोथियो जहाँ ज्यामितिको प्रयोग गरिएको थियो, जस्तै कि वर्गहरु र वृत्तहरुको सतहको क्षेत्रफल निकालन, विभिन्न त्रिविमीय आकृतीहरुमा ठोस पदार्थहरुको आयतन निकालन र साथ नैं पाइथागोरस प्रमेयको प्रयोग पनि यसमा शामिल थियो। यस पुस्तकमा पाइथागोरस प्रमेय को लागि सचित्र प्रमाण प्रस्तुत गरिएको(थियो) थिए, साथ नैं समकोण त्रिभुजका गुणहरु मा झाऊका पूर्व ड्यूक र शांग गाओका बीच एक लेखित संवाद र पाइथागोरस प्रमेय पनि संलग्न थियो। संपादक लियु भएले एक 192 पक्षीय बहुभुजको उपयोग गर पाएलाई 3.141014का रूपमा सूचीबद्ध गरेका थिए र उसपछि 3072 पक्षीय बहुभुजको उपयोग गर पाएको गणना 3.14159का रूपमा गरिएको थियो. यो लियु भएका समकालीन ईस्टर्न वूका गणितज्ञ र खगोल शास्त्री,औंग फैनको तुल्नुमा कहीं अधिक सटीक थियो जसमा ¹⁴²/₄₅को उपयोग गर पाएलाई 3.1555मा राखाइेको थियो। लियू भएले गहिराई, ऊँचाई, चौडाई र सतहका क्षेत्रफलको टाड़ाको मापहरुको गणनाको लागि गणितीय सर्वेक्षणका बारेमा पनि लेखा थियो। ठोस ज्यामितिका संदर्भमा तीहरुले यो निष्कर्ष निकालयो कि आयताकार आधार वाला एक खूंटी (वेज) र यसका दुइटै ढालू पक्षहरुलाई एक पिरामिड र चार पक्षहरु वाला एक खूंटीका रूपमा तोडयो जान सक्छ। तीहरुले यो पनि पता लगाए कि समलंब आधार र दुइटै ढालू पक्षहरु वाला एक खूंटीलाई एक पिरामिडद्वारा चार पक्षहरु वाला दुई खूंटीहरुमा अलग गरे जान सक्छ। यसका बाहेक लियू भएले आयतनमा कैवेलियरीका सिद्धान्त सहित-साथ गाऊसीका एलिमिनेशनको पनि वर्णन गरेका थिए. नौ अध्यायहरु (नाइन चैप्टर्स से, यसले निम्नलिखित ज्यामितीय सूत्रहरुलाई सूचीबद्ध गरेका थिए जसको जानकारी पूर्व हान राजवंश (202 बीसीई-9 सीई)का समयसम्म थियो.

निम्नको लागि क्षेत्रफल

वर्ग आयत वृत्त समद्विबाहु त्रिकोण असमांतरभुज

विषमकोण समलम्ब दोगुना समलम्ब एक वृत्तको खण्ड वलय (दो वृत्तहरुका बीच एन्यलर स्पेस)

निम्नको लागि वल्यूम

दो वर्ग सतहहरु वाला समानांतर-पाइप बिना वर्ग सतहहरु वाला समानांतर-पाइप पिरामिड वर्ग आधार सहित पिरामिडको फ्रस्टम(छित्रक) पिरामिडका फ्रस्टम(छित्रक) सहित असमान किनारहरुका आयताकार आधार

घन प्रिज्म आयताकार आधार वाला एक खूंटी (वेज) र यसका दुइटै ढालू पक्ष समलम्ब आधार वाला एक खूंटी (वेज) र यसका दुइटै ढालू पक्ष चार पक्षहरु वाला एक खूंटी

दोस्रो प्रकारकहरु एक खूँटीको एक फ्रस्टम (इंजीनियरिंगमा अनुप्रयोगहरुको लागि प्रयोग गरिन्छ) बेलन (सिलेंडर) गोलाकार आधार सहित शंकु एक शंकुको फ्रस्टम चक्र

त्यस पछि पनि धेरै हस्तीहरुको प्राकट्य भयो जिन्हहरुने प्राचीन चीनको ज्यामितीय विरासतलाई जारी रखा; इनमे शामिल छन्, प्रसिद्ध खगोलविद र गणितज्ञ शेन कूओ (1031 - 1095 ई.), पास्कलका त्रिभुजको खोज गर्न वाला हरुग भए (1238 - 1298 ई.), र जू गुआंक्वी (1562 - 1633 ई.), तथा अन्य धेरै मान्छे.

इस्लामी ज्यामिति

हेर्नुहोस: Islamic mathematics

अल-जब्र वा-अल-मुकबिलाह भन्दा एक पृष्ठ

समूचे मध्य पूर्व, उत्तरी अफ्रीका, स्पेन, पोर्चुगल र फारसका केही हिस्साहरुमा स्थापित इस्लामी खिलाफतको शुरुवात 640 सीई(CE)का छेउछाउ भए थियो. यस अवधिका बेला इस्लामी गणितज्ञ ज्यामितीय हुनेको सट्टा मुख्य रूपबाट बीजगणितीय थिए, हुनत ज्यामितिमा पनि महत्वपूर्ण कार्य गरिएको(थियो) थिए। यूरोपमा छात्रवृत्तिमा कमी आए र अंततः पुरातनताको हेलेनिस्टिक रचनाहरु तीका हातबाट निकल गयीं र केवल शिक्षाका इस्लामी केन्द्रहरुमा नैं बची रह गयीं.

हुनत मुस्लिम गणितज्ञहरुलाई बीजगणित, संख्या सिद्धान्त र संख्या प्रणालीहरु मा तीका कार्यहरुको लागि एकदम ख्याति मिली छ, तीहरुले ज्यामिति, त्रिकोणमिति र गणितीय खगोल विज्ञानको लागि पनि एकदम योगदान दिइएको छ र ती बीजगणितीय ज्यामितिका विकासको लागि पनि जिम्मेदार थिए। हुनत धेरैतर मुस्लिम गणितज्ञहरु द्वारा ज्यामितीय परिमाणहरुलाई "बीजगणितीय वस्तुहरु"का रूपमा देख्यो गएको थियो.

मोहम्मद इब्न मूसा अल-क्वारिजमीका उत्तराधिकारी, जुन फारसी विद्वान, गणितज्ञ र खगोलविद थिए, तीहरुले गणितमा कलन विधि (एल्गोरिथ्म)को आविष्कार गरेका थिए जुन कम्प्यूटर साइन्स (जन्म 780)को आधार छ, जसले अंकगणितबाट बीजगणित, बीजगणितबाट अंकगणित, दुइटैबाट त्रिकोणमिति, बिउ गणितबाट संख्याहरुको इयूक्लिडियन सिद्धान्त, बीजगणितबाट ज्यामिति र ज्यामितिबाट बीजगणितका क्रमागत अनुप्रयोगको कार्य गरेकाछन्। यसै तरिकाबाट बहुपदीय बीजगणित, संयोगात्मक विश्लेषण, संख्यात्मक विश्लेषण, समीकरणहरुको अङ्कीय समाधान, संख्याहरुका नयाँ प्राथमिक सिद्धान्त र समीकरणहरुका ज्यामितीय ढांचेको रचना भए थियो.

अल महानी (जन्म 820)ले ज्यामितीय समस्याहरु जस्तै कि बीजगणितको समस्याहरुको लागि तृतीय घातको द्विरावृत्तिलाई कम गर्नका विचारको कल्पना गरिएको थियो. अल काराजी (जन्म (953)ले बीजगणितलाई ज्यामितीय गतिविधीहरुबाट सारा तरिका मुक्त गर दियो र उनको ठाँउ अंकगणितीय प्रकारकहरु गतिविधीहरुलाई शामिलेर लियो जुन आज बीजगणितका आधारमा मौजूद छ।

अल्ब्रेक्ट ड्यूरेरको एक उत्कीर्णन जसमा माशाअल्लालाई देखाइएको छ; डी साईनटिया मोटस र्बिसका शीर्षक पृष्ठबाट (एनग्रेविंग सहित ल्याटिन संस्करण, 1504).जस्तो कि धेरै मध्ययुगीन चित्रहरुमा देख्यो जान्छ, यहाँ दर्शाया गयो कम्पास धर्म तथा विज्ञानको एक प्रतीक छ जहाँ भगवानलाई सृष्टिका रचयिताका रूपमा संदर्भित गरिन्छ।

थाबित परिवार र अन्य प्रारंभिक ज्यामितिकार

थाबित इब्न कुर्रा (जसलाई ल्याटिनमा थेबिटका रूपमा जानिन्छ) जन्म (836)ले गणितका धेरै क्षेत्रहरुमा योगदान दिइएको छ जहाँ तीहरुले संख्यालाई (सकारात्मक) वास्तविक संख्याहरुमा विस्तारको अवधारणा, अभिन्न कलन (इंटीग्रल कैलकुलस), गोलीय त्रिकोणमितिका प्रमेयहरु, विश्लेषणात्मक ज्यामिति र गैर-इयूक्लिडियन ज्यामिति जस्तै महत्वपूर्ण गणितीय खोजहरुको लागि मार्ग तैयार गर्नमा एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाए छ। खगोल विज्ञानमा थाबित टोलेमाइक प्रणालीका पहिले सुधारकहरुमा भन्दा एक थिए र हरुत्रिकीमा ती स्टैटिक्सका एक संस्थापक थिए। थाबितको रचनाहरुको एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय पहलू अनुपातहरुको संरचनामा उनको पुस्तकका रूपमा थियो। यस पुस्तकमा थाबित ज्यामितीय मात्राहरुका अनुपातहरुको लागि प्रयोग गरिएको(थियो) अंकगणितीय अपरेशनहरुका बारेमा बताउँछन्. यूनानीहरुले ज्यामितीय मात्राहरु सहित काम गरेका थिए किन भनें तीहरुले यिनको बारेमा उसलाई तरिकाबाट नसोचा थियो जस्तो कि अंकगणितका सामान्य नियमहरुलाई ला गू गर्नमा गरे जानसक्थ्यो। पहिले ज्यामितीय र गैर-संख्यात्मक मानी जाने वाला मात्राहरुमा अंकगणितीय अपरेशनहरुको शुरुवात गर थाबितले एक यस्तो प्रवृत्ति शुरू गरिएको थियो जसबाट अंततः संख्याको अवधारणाको सामान्यीकरण संभव भयो।

केहि मामलाहरुमा, विशेष रूपबाट गतिका संदर्भमा थाबित प्लेटहरु र अरस्तूका विचारहरुका आलोचक छन्. यस्तो प्रतीत हुन्छ कि यहाँ तीका विचार तीका ज्यामितीय तर्कहरुमा गतिका संदर्भमा तर्कहरुका उपयोगको स्वीकृतिमा आधारित छन्. ज्यामितिको लागि थाबितको एक अन्य महत्वपूर्ण योगदान तीका द्वारा पाइथागोरस प्रमेयको सामान्यीकरण छ, जसमा तीहरुले एक सामान्य प्रमाण सहित विशेष समकोणहरुलाई साधारण गरिमा सबै त्रिकोणहरुमा विस्तारित गरेका थिए.

इब्बाटोीम इब्न सिनान इब्न थाबित (जन्म 908), जिन्हहरुने आर्किमिडीजको तुल्नुमा कहीं अधिक सामान्य इंटीग्रेशनको एक विधि पेश गरिएको थियो र अल कूही (जन्म 940) इस्लामिक जगतमा यूनानी उच्च-स्तरीय ज्यामितिका पुनरोद्धार र यसको निरंतरतामा अग्रणी अनुहार थिए। यी गणितज्ञहरु र विशेष रूपबाट इब्न अल-हेथामले औप्टिक्सको अध्ययन गरे र शंक्वाकार भागहरुबाट बने दर्पणहरुका औप्टिकल गुणहरुको जाउँच गरे।

खगोल विज्ञान, टाइम-कीपिंग र भूगोलले ज्यामितीय र त्रिकोणमितीय अनुसंधानको लागि अन्य प्रेरणाहरु प्रदान गरे। उदाहरणको लागि इब्बाटोीम इब्न सिनान र तीका हजुरवुवा थाबित इब्न कुर्रा दुइटैले धूप-घडीहरुका निर्माणमा आवश्यक वक्रताहरुको अध्ययन गरे. अबू अल-वफा र अबू नस्र मंसूर दुइटैले खगोल विज्ञानमा गोलीय ज्यामितिको प्रयोग गरे.

ज्यामितीय वास्तुकला

हालका खोजहरुबाट पता चल्यो छ कि ज्यामितीय कवासीक्रिस्टल पद्धतीहरुलाई सबै भन्दा पहिले पाँच सदीहरुबाट पनि अधिक समय पहिलेको मध्ययुगीन इस्लामी वास्तुकलामा पाए जाने वाला गिरिह टाइलहरुमा प्रयोग गरिएको थियो. 2007मा हार्वर्ड विश्वविद्यालयका प्रोफेसर पिउँटर लू र प्रिंसटन विश्वविद्यालयका प्रोफेसर पल स्टेनहार्ड्टले साइंस पत्रिकामा यस सुझाव सहित एक दस्तावेज प्रकाशित गरेका थिए कि गिरिह टाइलिंगमा मौजूद विशेषताहरु स्वतः-समान आंशिक क्वासीक्रिस्टलाइन टाइलिंगको निरंतरतामा थियो जस्तै कि पेनरोज टाइलिंग, जसको सम्बन्ध तीबाट पाँच सदीहरु पहिलेबाट थियो।

आधुनिक ज्यामिति

17औं सदी

जब यूरोपले आफ्नो अंध युग (डार्क एजेज)बाट निकल्नु शुरू गरे, इस्लामी पुस्तकालयहरुमा मौजूद ज्यामितिका हेलेनिस्टिक र इस्लामी ग्रंथहरुको अरबीबाट ल्याटिनमा अनुवाद गरियो. यूक्लिडको एलिमा ट्स अफ ज्योमेट्री मा मिले ज्यामितिका कठोर निगमनात्मक तरीकहरुको फिरबाट अध्ययन गरे गयो र यसले अगाड़ि यूक्लिड (इयूक्लिडियन ज्यामिति) एवं खय्याम (बीजगणितीय ज्यामिति) दुइटैको शैलीहरुमा ज्यामितिका विकासको क्रम जारी रहयो जसका परिणाम स्वरूप नयाँ प्रमेयहरु र सिद्धान्तहरुको एक बभयोयत भयो जसमाबाट धेरै धेरै नैं गहन र सहज थिए।

रेने डेसकार्टेसद्वारा डिसकोर्स औन मैथड्स

17औं सदीको शुरुआतमा ज्यामितिमा दुई महत्वपूर्ण घटनाहरु भएं. पहिलो र सबै भन्दा महत्वपूर्ण घटना रेने डेस्क्रेट्स (1596-1650) र पियरे डी फर्मेट (1601-1665) द्वारा विश्लेषणात्मक ज्यामिति या समन्वयहरु र समीकरणहरु वाला ज्यामितिको रचना थियो. यो कैलकुलस र भौतिकीका सटीक मात्रात्मक विज्ञानका विकासको लागि एक आवश्यक अग्रदूत साबित भयो। यस अवधिको दोस्रो ज्यामितीय प्रगति गिरार्ड डेसार्गेस (1591-1661) द्वारा प्रोजेक्टिव ज्यामितिका सिलसिलेवार अध्ययनका रूपमा थियो. प्रोजेक्टिव ज्यामिति मापका बगैर ज्यामितिको अध्ययन छ यानी सिर्फ यो अध्ययन कि किस तरिका बिंदुहरु एक दोस्रोबाट तालमेल बनाउँछन्. यस क्षेत्रमा हेलेनिस्टिक ज्यामितिकारहरु, उल्लेखनीय रूपबाट पैपस (सी. 340) द्वारा केही शुरूआती कार्य गरिएको(थियो) थिए। महानतम फ्लावरिंग अफ द फील्डको सम्बन्ध जीन विक्टर पहरुसिलेट (1788-1867) सहित थियो।

17औं सताब्दीका उत्तरार्द्धमा कैलकुलसलाई आइजैक न्यूटन (1642-1727) र गटफ्रेड विल्हेम वन ला इबनिज (1646-1716) द्वारा स्वतन्त्र रूपबाट र लगभग एक साथ विकसित गरिएको थियो. यो गणितका एक नयाँ क्षेत्रको शुरुवात थियो जसलाई अब विश्लेषण (एनालिसिस) भनिन्छ। हुनत यो स्वयं ज्यामितिको एक शाखा छैन, फेरि पनि ज्यामितिमा यसको प्रयोग हुन्छ र यसले समस्याहरुका दुई परिवारहरुको हलेरेका थिए जुन एकदम समय भन्दा अडियल बनी भए थियो: विषम वक्रहरुमा स्पर्श रेखाहरुको पता लगाउन र ती वक्रहरुबाट घिरे क्षेत्रफलहरुको पता लगाउन. कैलकुलसको विधिले गणनाका धेरैतर सीधा मामलाहरुमा यी समस्याहरुलाई कम गर दियो.

18औं र 19औं सदियों

गैर-इयूक्लिडियन ज्यामिति

यूक्लिडको चार अभिधारणाहरुबाट उनको पांचऔं अभिधारणा, "समानांतर अभिधारणा"लाई प्रमाणित गर्नको पुरानो समस्यालाई कहिल्यै भुलाया गरेको थिएन. यूक्लिडका केही नैं समय पछि प्रस्तुतीहरुका धेरै प्रयास गरिएको(थियो) किन भनें केही यस्तो सिद्धान्तहरु लाई, जुन तर्कमा स्वीकृतिका माध्यमले स्वयं पहिलो चार अभिधारणाहरुबाट प्रमाणित भएका थिएनन्, त्यस पछि पनि दोषपूर्ण पायाइयो. हुनत उमर खय्याम पनि समानांतर अवधारणालाई साबित गर्नमा असफल रहे थिए, यूक्लिडका समानांतरहरुका सिद्धान्तहरुको आलोचनाहरु र गैर-इयूक्लिडियन ज्यामितिमा संख्याहरुका गुणहरुका तीका प्रमाणले अंततः गैर-इयूक्लिडियन ज्यामितिका विकासमा योगदान दिेको थियो। सन 1700मा पहिलो चार अवधारणाहरुलाई प्रमाणित गर्न र पांचऔं अवधारणालाई प्रमाणित गर्नको कोशिशमा अगाडी आन वाला कमीहरुका संदर्भमा एक ठूलो खोजको गयी. साचेरी, ला म्बर्ट र लिगेंद्रे तीनहरुले यस समस्यामा 18औं सताब्दीमा उत्कृष्ट कार्य गरि, किन भनें किन भनें फेरि पनि सफलता तीबाट टाढा नैं रही. 19औं सदीको शुरुआतमा गस, जोहान बोल्याई र लोबाचेव्स्की मा बाट हरेक कुनैले स्वतन्त्र रूपबाट एक अलग दृष्टिकोण लियो. यस संदेह सहित शुरुवात गर्दै कि समानांतर अवधारणाहरुलाई प्रमाणित गर्न असंभव थियो, तीहरुले एक आत्म-संगत (सेल्फ-कंसिस्टेंट) ज्यामितिका विकासमा काम गरे जसमा त्यो अवधारणा गलत थियो. यसमा ती सफल रहे थिए र यस प्रकार पहिले गैर-यूक्लिडियन ज्यामितिको रचना भए. 1854मा गसका एक छात्र, बर्नहार्ड रीमैनले समस्त चिल्लो सतहहरुको आतंरिक (आत्म-संगत) ज्यामितिका एक जबरदस्त अध्ययनमा कैलकुलसको विधिको प्रयोग गरेका थिए र यस प्रकार एक अलग गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति विकसित भए थियो. रीमैनका कार्य त्यस पछि आइंस्टीनका सापेक्षताका सिद्धान्तको आधार बनए थिए।

विलियम ब्लेकको "न्यूटन", वैज्ञानिक भौतिकवादको 'एकल दृष्टि'का प्रति तीका विरोधको एक प्रदर्शन है; यहाँ, आइजैक न्यूटन 'डिवाइन जीयोमीटर'का रूपमा देखाइएको छ (1795)

यो प्रमाणित गर्न बाकी रह्ेको थियो कि गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति एकदम उतनी नैं आत्म-संगत थियो जत कि यूक्लिडियन ज्यामिति र यस कार्यलाई सबै भन्दा पहिले बेल्ट्रामी द्वारा 1868मा पूरा गरिएको थियो. यसै सहित गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति, यूक्लिडियन ज्यामिति सहित एक समान गणितीय स्तरमा स्थापित भएको थियो.

हुनत अब यो मालूम भएको थियो कि विभिन्न ज्यामितीय सिद्धान्त गणितीय तरिका भन्दा संभव थिए, यो प्रश्न बाकी नैं रह्यो कि "यीहरु मध्येको सा सिद्धान्त हाम्रा भौतिक जगतको लागि सही छ?" गणितीय कार्यबाट यो पता चल गयो कि यस सवालको जवाब भौतिकीय प्रयोगहरुका माध्यमले दियो जान पर्दछ ना कि गणितीय तर्क से, साथ नैं यो कारण पनि उजागर भयो कि यस प्रयोगमा अछैनत (सितारहरुको टाड़ािहरु, ना कि पृथ्वी-आधारित) टाड़ाीहरुलाई अनिवार्य रूपबाट क्यहरु शामिलेरे जान पर्दछ. भौतिकीमा सापेक्षताका सिद्धान्तका विकास सहित यो प्रश्न धेरै अधिक जटिल भयो।

गणितीय कठोरता (रिगर)को परिचय

समानांतर अवधारणाहरुबाट सम्बन्धित सबै कार्यहरुबाट यो पता चल्यो कि एक ज्यामितिकारको लागि आफ्नो तार्किक आधारलाई भौतिक जगतका आफ्नो अन्तर्ज्ञानको समझबाट अलग गर्न एकदम मुश्किल थियो र यसका बाहेक यस्तो गर्नका आलोचनात्मक महत्वको पनि पता चला. सावधानीपूर्वक परीक्षणले यूक्लिडको रीजनिंगमा केही तार्किक खामीहरु र केही अनकहे ज्यामितिक सिद्धान्तहरुको खुलासा गरेका थिए जसका बारेमा यूक्लिड कहिले काँही बताया गर्थे. यस आलोचनाले कैलकुलसमा आन वाला मुश्किलहरु र अछैनत प्रक्रियाहरु जस्तै कि अभिसरण र निरंतरताका अर्थका संदर्भमा विश्लेषणलाई समानांतर बनयो दियो. ज्यामितिमा सूक्तीहरु (एग्जिओम्स)का एक नयाँ सेटको स्पष्ट आवश्यक्थ्यो जुन सारा छ सकती थियो र जुन हाम्रा द्वारा बनाए जाने वाला तस्वीरहरु या अन्तरिक्षका बारेमा हाम्रा अन्तर्ज्ञानमा कुनै पनि तरहबाट आधारित छैन। यस तरहको सूक्तिहरु 1894मा डेविड हिल्बर्ट द्वारा तीका शोध-निबंध ग्रंडलाजेन डर जियोमेट्री (फ़ाउंडेशंस अफ ज्योमेट्री )मा दी गएकोथिइन्. सूक्तीहरुका केही अन्य संपूर्ण सेट यसले केही वर्ष पहिले दिए गए थिए किन भनें यो अर्थव्यवस्था, ला लित्य र यूक्लिडको सूक्तीहरुको समानतामा मेल हिल्बर्टको सूक्तीहरुबाट खादैनथे.

एनालिसिस साइटस या टोपोलजी

18औं सताब्दीका मध्यमा यो स्पष्ट भयो कि गणितीय तर्कको केही ख़ास कडिहरु ती समय विकसित भहरु जब संख्या रेखामा, दुई आयामहरुमा र तीन आयामहरुमा यसै तरहका विचारहरु मा अध्ययन गरिएको थियो. यस प्रकार एक मीट्रिक स्पेसको सामान्य अवधारणा बनी थियो जसबाट कि रीजनिंग कहीं अधिक व्यापकतामा हुन सकोस् र यसपछि विशेष मामलाहरुमा यीहरुका प्रयोग गरे जानसके. कैलकुलसका अध्ययनको यो विधि- र विश्लेषण सम्बन्धी अवधारणाहरुलाई एनालिसिस साइटसका रूपमा र त्यस पछि टोपोलजीका रूपमा जान गया. यस क्षेत्रमा महत्वपूर्ण विषय थिए कहीं अधिक सामान्य आंकडहरुका गुण जस्तै कि सीधापन, र लम्बाई एवं कोणीय मापहरुको सटीक गुणवत्ता जस्तै गुणहरुको सट्टा संयुक्तता र सीमाहरु, जुन यूक्लिडियन र गैर-यूक्लिडियन ज्यामितिका केन्द्र रहे थिए। टोपोलजी चाँडै नैं ज्यामिति या विश्लेषणका एक उप-क्षेत्रको सट्टा प्रमुख महत्वको एक अलग क्षेत्र बन्यो.

20औं सदी

बीजगणितीय ज्यामितिका विकासमा परिमित क्षेत्रहरु मा वक्रहरु र सतहहरुका अध्ययनलाई शामिलेरे गेको थियो जस्तो कि आंद्रे वील, एलेक्जेंडर ग्रोथेंडीक र जीन-पियरे सेरे सहित धेरै अन्यका कार्यहरु सहित-साथ वास्तविक या जटिल संख्याहरुमा गरिएको(थियो) कार्यहरु द्वारा प्रदर्शित गरिएको थियो. परिमित ज्यामिति स्वयं केवल परिमित धेरै बिन्दुहरु, कोडिंगका सिद्धान्त र क्रिप्टोग्राफीमा पाए गए अनुप्रयोगहरु सहित विभिन्न अन्तरिक्षहरुको अध्ययन थियो। कंप्यूटरका आगमन सहित नयाँ विषय जस्तै कि कम्प्यूटेशनल ज्यामिति या डिजिटल ज्यामिति ज्यामितीय एल्गोरिदम, ज्यामितीय आंकडहरुका असतत प्रतिनिधित्व र यसै तरहका क्षेत्रहरु मा कार्य गर्दछन्.

यो पनि हेर्नुहोस्

• ज्यामितिक विषयहरुको सूची
• ज्यामितिमा प्रकाशित महत्वपूर्ण पुस्तकें
• इंटरैक्टिव ज्यामिति सफ्टवेयर
• गणितको इतिहास
• फ़्लैटलैंड ; "A²" द्वारा लेखित पुस्तक; यो पुस्तक द्वि तथा त्रि-आयामी अन्तरिक्षका विषयमा छ र यसलाई चतुर्थ आयामको अवधारणालाई समझनेको लागि लेखा गएको थियो.

संदर्भ

• Cooke, Roger (2005), The History of Mathematics: A Brief Course, New York: Wiley-Interscience, 632 pages, ISBN 0471444596, <http://www.amazon.com/dp/0471444596/> 
• Dani, S. G. (July 25, 2003), "Pythogorean Triples in the Sulvasutras", Current Science 85(2): 219–224, <http://www.ias.ac.in/currsci/jul252003/219.pdf> 
• Eder, Michelle (2000), Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam, Rutgers University, <http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers2000/eder.html>. Retrieved on २३ जनवरी २००८ 
• Hayashi, Takao (2003), [ "Indian Mathematics"], in Grattan-Guinness, Ivor, Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, 1, Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press, 976 pages, pp. 118–130, ISBN 0801873967, <> 
• Hayashi, Takao (2005), [ "Indian Mathematics"], in Flood, Gavin, The Blackwell Companion to Hinduism, Oxford: Basil Blackwell, 616 pages, pp. 360–375, ISBN 9781405132510, <> 
• Joseph, G. G. (2000), The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press, 416 pages, ISBN 0691006598, <http://www.amazon.com/Crest-Peacock-George-Gheverghese-Joseph/dp/0691006598/> 
• Katz, Victor J. (1998), [ History of Mathematics: An Introduction], Addison-Wesley, ISBN 0321016181, OCLC 38199387 60154481, <> 
• नीड्हेम, जसलाईफ़ (1986), साइंस हरुड सिविलाइजेशन यी चाइना: वल्यूम 3, मैथमेटिक्स हरुड दी साइंसेज अफ दी हेवेंस हरुड दी अर्थ , ताइपे: केव्स बुक्स लिमिटेड
• Rozenfeld, Boris A. (1988), [ A History of Non-Euclidean Geometry: Evolution of the Concept of a Geometric Space], Springer Science+Business Media, ISBN 0387964584, OCLC 15550634 230166667 230980046 77693662, <> 
• Smith, John D. (1992), "The Remarkable Ibn al-Haytham", The Mathematical Gazette (Mathematical Association) 76(475): 189–198, doi: 10.2307/3620392 , <http://jstor.org/stable/3620392> 
• Staal, Frits (1999), "[ Greek and Vedic Geometry]", Journal of Indian Philosophy, 27(1-2): 105–127, doi: 10.1023/A:1004364417713 , <> 
• Stillwell, John (2004), Berlin and New York: Mathematics and its History (2 ed.), Springer, 568 pages, ISBN 0387953361, <http://www.amazon.com/Mathematics-its-History-John-Stillwell/dp/0387953361/> 

बाह्य कडिहरु

• इस्लामिक ज्योमेट्री
• ज्योमेट्री यी दी 19थ सेंचुरी स्टेनफोर्ड एन्साइक्लोपीडिया अफ फिलसफी पर
• अरेबिक मैथमेटिक्स: फोर्गोटें ब्रिलिहरुस?