ज्यामितिको इतिहास

नेपाली विकिपीडियाबाट
यसमा जानुहोस्: परिचालन, खोज्नुहोस्
यो लेख वा खण्ड नेपाली भाषामा नभएर अर्को भाषामा लेखिएको छ।
यदि यो लेखमा तपाईंको योगदान छ भने यसलाई नेपाली भाषामा उल्था गर्नुहोला।
एक महिनासम्म उल्थानभएमा यसलाई हटाएर नयाँ लेख बनाइने छ ।
1728 साइक्लोपीडियाबाट ज्यामितिको तालिका.

ज्यामिति (ग्रीक γεωμετρία ; जियो(ज्या) = पृथ्वी, मेट्रिया(मिति) = माप) शब्द, दीक्कीय वस्तुका सम्बन्धहरुका बारेमा बताउने ज्ञानको क्षेत्रको रूपमा उत्पन्न भएको थियो। ज्यामिति पूर्व-आधुनिक गणितका दुई क्षेत्रहरुमध्येको एउटा हो र दोस्रो क्षेत्र संख्याहरुको अध्ययनसँग सम्बन्धित अँकगणित थियो।

परम्परागत ज्यामिति परकाल(कम्पास) र स्केल प्रविधिमा केन्द्रित थियो । यूक्लिड द्वारा ज्यामितिमा क्रान्न्तिकारी परिवर्तन गरियो । उनले स्वयंसिद्ध विधि (axiomatic method) प्रयोग गरी एउटा गणितीय संरचना प्रस्तुत गरेका थिए जुन आज पनि प्रयोगमा छ। उनको पुस्तक मूलतत्व लाई अझसम्म पनि सबैभन्दा प्रभावशाली पाठ्य-पुस्तक मानिन्छ र २०औं सताब्दीको मध्यसम्म पश्चिममा सबै शिक्षित मानिसहरुलाई यसको जानकारी रहन्थ्यो.[१]

आधुनिक समयमा ज्यामितीय अवधारणाहरुलाई काल्पनिकता र जटिलताको एक उच्च स्तरसम्म सामान्यीकृत गरिएको छ र यिनमा कलन गणित एवं अमूर्त बीजगणितीय विधिहरुको अधिकतम प्रयोग गरिएको छ ,त्यसैले यस क्षेत्रका धेरै आधुनिक विधालाई प्रारम्भिक ज्यामितिको संततीहरुका रूपमा बुझ्न गाह्रो पर्दह । (हेर्नुहोस ज्यामिति र गणितका क्षेत्र).

विषयसूची

प्रारम्भिक ज्यामिति[सम्पादन गर्ने]

ज्यामितिको सबैभन्दा पुराना प्राप्त लिखतहरुमा आदिकालीन मानिसहरुद्वारा बनाइएको अधिककोण त्रिभुजहरु रहेको देखिन्छ । यी आक्रितिहरु सिंधु उपत्यकाको प्राचिन सभ्यता (हेर्नुहोस् हडप्पा गणित)मा पाइएको थियो र ३००० ईसा पूर्वका हाराहारी बेबीलोनी (हेर्नुहोस् बेबिलोनी गणित) -का समयसम्मको भनि अनुमान लगाइन सक्छ। प्रारम्भिक ज्यामिति लंबाइहरु, कोणहरु, क्षेत्रफलहरु, र आयतनहरुसन्ग सम्बन्धित आनुभविक रूपबाट आविष्कृत सिद्धान्तहरुको एक संग्रह थियो र ती सर्वेक्षण, निर्माण, खगोल विद्या र विभिन्न शिल्पहरुमा केही व्यावहारिक जरूरतहरुलाई पुरा गर्नको लागि विकसित गरिएको थियो. यी मध्ये केही सिद्धान्त आश्चर्यजनक रूपबाट जटिल थिए र एक आधुनिक गणितज्ञको लागि कैलकुलसको प्रयोग बिना तीमध्ये केही सिद्धान्तको उपयोग गर्न मुश्किल साबित हुन सक्छ। उदाहरणको लागि, मिस्रवासी र बेबिलोनि दुइटै पाइथागोरस प्रमेयका संस्करणहरुबाट पाइथागोरस भन्दा १५०० वर्ष पहिलेदेखि नैं परिचित थिये ; मिस्त्र वासीहरुसन्ग वर्गाकार पिरामिडका फ्रस्टमको आयतनको सुत्र थियो भने बेबिलोनिसन्ग त्रिकोणमितिको तालिका थियो।

मिस्र (ईजिप्ट)को ज्यामिति[सम्पादन गर्ने]

प्राचीन मिस्रका मानिसहरुले वृत्तको क्षेत्रफलको अनुमान निम्नलिखित सुत्रबाट: लगाउने गर्दथे [२]

::::वृत्तको  क्षेत्रफल ≈ [(व्यास)  x ८/९].[२]


मास्को गणितीय पेपिरसमा समस्या 14 मा पिरामिडको फ्रस्टमको आयतनक लागि निम्न सुत्र प्रयोग गरियेको छ

V = \frac{1}{3} h(x_1^2 + x_1 x_2 +x_2^2).

बेबीलोनको ज्यामिति[सम्पादन गर्ने]

बेबीलोनका मानिसहरु क्षेत्रफल र आयतनको मापको सामान्य नियमहरु जान्दथे । तिनिहरु वृत्तको परिधिको मापलाई व्यासको तीन गुनाको रूपमा र क्षेत्रफललाई परिधिको वर्गको १२ औ भागको रूपमा नाप्दथे । πको मान 3 मान्दा यो सुत्र ठिक हुन आउछ । तर बेलनाको आयतन भने आधार र उंचाईको गुणनफलको रूपमा र , शंकुको फ्रस्टम (छिन्नक)को आयतन उंचाई र आधारहरुको जोडको औसतको गुणनफलको रूपमा लिमे गर्दथे जुन गलत थियो। पाइथागोरस प्रमेयको बारेमा बेबीलोनका मानिसहरुलाई पनि जानकारी थियो ।. यस बाहेक हालैको एक खोजमा π को मान 3 र 1/8 को रूपमा उपयोग गरिएको लिखत भेटियेको थियो । . बेबीलोनका मानिसहरु बेबिलोनि मीलको लागि पनि चिनिन्छन जुन आजको लगभग सात मील समतुल्य माप थियो ।[३]

यूनानी ज्यामिति[सम्पादन गर्ने]

पारंपरिक यूनानी ज्यामिति[सम्पादन गर्ने]

प्राचीन यूनानी गणितज्ञहरुका लागि ज्यामिति तिनका विज्ञानहरुका मुकुटको मणि थियो । यो एउटा पूर्ण पद्धतिमा विकसित ज्ञान पद्धति थियो जुन अन्य कुनै पनि शाखाले हासिल गर्न सकेका थियेनन ।तिनिहरुले ज्यामितिको श्रृंखलालाई धेरै नयाँ प्रकारका आंकडाहरु, मोडहरु, सतहहरु र ठोसहरुमा विस्तारित गरे र यसको प्रणालीलाई प्रयास र गल्ति विधिबाट तार्किक पद्धतिमा फेरिदिये ।तिनिहरुले यो स्वीकार गरे कि ज्यामितिले "अपरिवर्तनशील स्वरूपहरु" या अमूर्तताको अध्ययन गर्दछ जसका लागि भौतिक वस्तुहरु केवल अनुमान हुन र तिनिहरुले "स्वयंसिद्ध विधि"को विचारलाई विकसित गरे जुन आज पनि उपयोगमा छ।

थेल्स र पाइथागोरस[सम्पादन गर्ने]

[File:Pythagorean.svg|thumb|पाइथागोरस प्रमेय: a२ + b२ = c२]] मिलेटस (हाल दक्षिण-पश्चिमी टर्किको सहर)का थेल्स (६३५-५४३ ईसा पूर्व) पहिला व्यक्ति थिए जसलाई गणितमा निगमन विधि प्रयोग गर्ने स्रेय दिइन्छ ।तिनले पाँच वटा ज्यामितिय प्रमेयको निगमिक प्रमाण प्रस्तुत गरे । हुन त ती प्रमाण अहिले उपलब्ध छैनन तर आयोनिया र त्यस पछि इटली, जहाँ तिनताका यूनानी मानिसहरु बसेका भएका थिए, त्यहिका पाइथागोरस (५८२-४९६ ई.पू.) संभवतः थेल्सका एक छात्र थिए र तिनले बेबीलोन एवं इजिप्ट (मिस्र)को यात्रा गरेका थिये । तिनको नामको त्यो प्रमेय संभवतः उनको खोज नभयेर निगमिक स्वरुपको प्रमाण जुटाउने पहिलो व्यक्ति थिए। तिनले गणित, संगीत र दर्शनको अध्ययन गर्नको लागि छात्रहरुलाई एकत्र गरे र एउटा प्रतिस्ठान चलाये । प्रतिस्ठानका छात्रहरुले धेरै चीजहरुको खोज गरे जसलाई आज हाई स्कूलका छात्र आफ्नो ज्यामितिका पाठ्यक्रमहरुमा पढ्दछन् । यसबाहेक तिनिहरुले अतुलनीय लंबाइहरु र अतार्किक संख्याहरुको गहन खोज गरे। (हुन त थेल्सले प्रस्तुत गरेको निगमिक प्रमाणको कुनै साछ्य उपलब्ध नभयेको र परमिन्देइस पछि मात्र ट्यस्तो प्रमाण विधि देखियेको थियो। थेल्सका समयको गणित विवेचनात्मक थियो। थेल्सले अनुभवजन्य र प्रत्यक्ष प्रमाण "प्रस्तुत" गरे ।)

प्लेटो[सम्पादन गर्ने]

दार्शनिक प्लेटो (४२७-३४७ ई.पू.) यूनानीहरुको लागि सबै भन्दा सम्मानित व्यक्तित्व थिए जसले आफ्नो सुप्रसिद्ध स्कूलको प्रवेश द्वारमाथि लेखेका थिए, " ज्यामिति नजान्ने मानिस यहा प्रवेश नगर्नू ।" हुन त तिनी स्वयं गणितज्ञ थिएनन् तर गणितबारेका तिनका विचारहरु साह्रै मननिय थियो। यसैले गणितज्ञहरुले उनको यस धारणालाई स्वीकार गरे : ज्यामितिमा कम्पास र स्ट्रेटएजका अतिरिक्त कुनै पनि उपकरणको प्रयोग गर्नु हुँदैन । मापक उपकरणहरु जस्तै चिह्नित रूलर वा कोणमापक गणितीय नभयेर कर्मकारहरुका उपकरण हुन । यी तीन वटा परम्परागत निर्माण सम्बन्धी ग्रिसेली समस्याहरु : कुनै कोणलाई तीन बराबर भागमा बांटने, घनको आयतनको दुईगुना हुने घनको निर्माण गर्न र वृत्तको क्षेत्रफलसन्ग बराबर हुने वर्गको निर्माण गर्न : को अध्ययनमा यी उपकरणहरुको उपयोग लामो समयसम्म भएर पनि समाधान सम्भव हुन सकेन । यी निर्माणहरुको असंभवताका प्रमाणहरु अंततः १९औं सताब्दीमा मात्र यकिन हुन सक्यो जसबाट वास्तविक संख्या प्रणालीको गहन संरचनाका संदर्भमा महत्वपूर्ण सिद्धान्तहरुको विकास भयो। प्लेटोका सबै भन्दा ठूला शिष्य अरस्तू (३८४-३२२ ई.पू.)ले ती निगमनात्मक प्रमाणहरु र तर्कका तरीकहरुबारे एउटा ग्रन्थ लेखेका थिए । (हेर्नुहोस् लजिक) ।

हेलेनिस्टिक ज्यामिति[सम्पादन गर्ने]

यूक्लिड[सम्पादन गर्ने]

औक्सफोर्ड यूनिवर्सिटीका प्राकृतिक इतिहास संग्रहालयमा यूक्लिडको प्रतिमा.
ज्यामिति पढाती भए महिला.यूक्लिडका तत्वहरुका एक मध्ययुगीन अनुवादको शुरुआतमा चित्रण, (सी. 1310)

यूक्लिड (आकलित ३२५-२६५ ई.पू.), जसको सम्बन्ध एलेग्जेंड्रियासन्ग थियो, संभवतः प्लेटोका छात्रहरुमध्ये कुनै एकका छात्र थिए। तिनले मूलतत्व द एलिमेन्टस अफ ज्योमेट्री शीर्षकमा १३ खण्डे ग्रन्थ लेखेका थिए । यसमा तिनले ज्यामितिलाई एउटा सुसन्गठित आदर्श स्वयंसिद्ध स्वरूपमा प्रस्तुत गरेका थिए । यसलाई पछि यूक्लिडिय ज्यामिति भन्न थालियो । यो ग्रन्थ त्यस समयको हेलेनिस्टिक गणितज्ञहरुको ज्यामिति बारेको ज्ञानको समस्त जानकारीहरुको एउटा संग्रह हो । मूलतत्व द एलिमेण्टसको थालनी परिभाषा , मौलिक ज्यामितीय स्वयम सिद्ध तथ्य ( एग्जियोम्स वा पोसुलेट्स ) र सामान्य मात्रात्मक सिद्धान्तहरु ( कमन नोशंस ) बाट भएर ज्यामितिय तथ्यहरुको उत्पत्तिपूर्णा तार्किक पुष्टी गरियेको छ । उनको पाँच सूक्तिहरु (एग्जिओम्स) निम्नलिखित छन् :

  1. कुनै दुई बिन्दुहरुलाई एउटा सरल रेखाले जोडन सकिन्छ ।
  2. कुनै रेखाखण्डलाई एकातिर वा दुबैतिर जतिपनि लम्ब्याउन सकिन्छ ।
  3. कुनै केन्द्रबिन्दुमा कुनै पनि त्रिज्या लिएर एउटा व्रित्त बनाउन सकिन्छ ।
  4. सबै समकोणहरु परस्पर बराबर हुन्छन् ।
  5. यदि एउटा समतलमा रहेका दुई सरल रेखाहरुलाई कुनै छेदक रेखा ( ट्रांसवर्सल (अनुप्रस्थ) ) ले काटदा दुई रेखाहरुका बीचका आंतरिक कोणहरुमध्ये छेदकको एकैतिर रहेका कोणहरुको योगफल दुई समकोण भन्दा कम भयोभने ती दुई रेखालाई ट्यतातिर लम्ब्याउदा ती परस्पर काटिन्छन ।

( यसलाई समानांतर अभिधारणा पनि भन्दछन्) ।

आर्किमिडीज[सम्पादन गर्ने]

साइराक्यूज, सिसिली, जब यो एक ग्रीस शहर-राज्य थियो, यहाँका निवासी आर्किमिडीज (२८७-२१२ ईसा पूर्व) पनि थिए ।तिनी अक्सर यूनानी गणितज्ञहरुमा सबै भन्दा महान मानिन्छन् । गणितका इतिहासकारहरु तिनलाई अहिलेसम्मका तीन स्रेष्ठ गणितज्ञहरुमध्ये एक (अन्य दुई आइज्याक न्यूटन र कार्ल फ्रेडरिक गस ) मानिन्छन । ती एक गणितज्ञ मात्र नभएर एक महान भौतिक विज्ञानी, ईन्जिनियर र आविष्कारकका रूपमा पनि सम्झना गरिन्छन । आफ्नो गणितमा तिनले विश्लेषणात्मक ज्यामितिको समन्वय प्रणालीहरुका एकदम समान विधीहरु र समाकलन गणित ( इन्टेग्रल कैलकुलस )को प्रतिबंधक प्रक्रिया पनि प्रतिपादन गरेका थिए । यी क्षेत्रहरुको रचनामा केवल एक तत्त्वको कमी,( एक प्रभावी बीजगणितीय संकेत ),थियो , जसमा उनको अवधारणाहरुलाई व्यक्त गर्न सकिन्थ्यो ।

आर्किमिडीज पछि[सम्पादन गर्ने]

अधिकांश मध्ययुगीन विद्वानहरु द्वारा ज्यामिति परमात्माबाट जुडी मनी जाती थियो.13औं सदीको यस पांडुलिपिमा कंपास, भगवानका निर्माण कार्यको एक प्रतीक छ.

आर्किमिडीज पछि हेलेनिस्टिक गणितको अवस्था खस्कन थाल्यो । हुन त केही साना हस्तीहरुको अस्तित्व अझै बाकी थियो । ज्यामितिको स्वर्ण युग समाप्त भएको थियो । यूक्लिडको पहिलो पुस्तकको समीछा कमेण्ट्रि औन द फर्स्ट बुक अफ यूक्लिड का लेखक (प्रोक्लस (४१०-४८५) हेलेनिस्टिक ज्यामितिको अन्तिम महत्वपूर्ण व्यक्तित्वहरु मध्येका एक थिए । ती एक निपुण ज्यामितिकार थिए । तिनले आफूभन्दा पहिले अग्रजहरुद्वारा गरिएको कार्यहरुको राम्रो टीका गरेका थिए। ती कार्यहरुमध्ये धेरै त आधुनिक समयसम्म अस्तित्वमा छैनन तर तीबारेको जानकारी हामीलाई यिनको टिप्पणीका माध्यमबाट मिल्दछ । ग्रीस शहर-राज्यहरुका उत्तराधिकारी र तिनमा अधिपत्य कायम गर्नेवाला रोमन गणराज्य र साम्राज्यले उत्कृष्ट इंजीनियरहरु तयार पार्यो तर तिनिहरुमध्ये कोही पनि उल्लेखनीय गणितज्ञ थिएनन् ।

एलेग्जेंड्रियाको विशाल पुस्तकालय त्यसपछि जलाई सकिएको थियो । इतिहासकारहरुका बीच एउटा साधारण सहमति के पाइन्छभने एलेक्जेंड्रियाको पुस्तकालयले संभवतः धेरै विनाशकारी घटनाहरु झेल्नु परेको थियो । चौथो सताब्दीमा एलेक्जेंड्रियाका पगान (मूर्तिपूजक) मन्दिरहरुको विनास शायद सबै भन्दा विनाशकारी र अन्तिम घटना थियो । ती विनाशका प्रमाण सबैभन्दा अधिक निश्चित र सुरक्षित छन् । कैसरको आक्रमण पनि बंदरगाहसंगैको एउटा गोदाममा रहेको झण्डै ४०,०००-७०,००० पत्रहरु (स्क्रल)नष्ट हुनुको कारण बनेको थियो । गृह युद्ध का कारण संग्रहालय एवं पुस्तकालय पनि संभवतः त्यसै अभियानको शिकार बनेर नस्ट भएको थियो।

भारतीय ज्यामिति[सम्पादन गर्ने]

वैदिक काल[सम्पादन गर्ने]

देवनागरीमा ऋग्वेद पांडुलिपि.

'शतपथ ब्राह्मण (९औं शताब्दी ईसा पूर्व)मा शुल्ब सूत्र'मा झै धार्मिक ज्यामितीय निर्माणका नियमहरु समावेस भएको पाइन्छ ।[४]

शुल्ब सूत्र (वैदिक संस्कृतमा शाब्दिक रूपबाट, "स्वरहरुको सूक्तिहरु - एफोरिज्म्स अफ द कर्ड") (आकलित ७००-४०० ईसा पूर्व)मा यज्ञाग्निको वेदीहरुको निर्माण विधिहरुको सूची दिइएको छ।[५] शुल्ब सूत्र मा समावेस गरिएका धेरैजसो गणितीय समस्याहरु " एकल धार्मिक आवश्यकता"बाट निर्देशित छन । [६] र ती विभिन्न आकारका अग्निवेदीहरुको निर्माणसंग सम्बन्धित छन् । हवनकुण्डहरु पकाइएका ईंटको पाँच तहको हुनु आवश्यक थियो , प्रत्येक तह २०० ईंटको हुनुपर्थ्यो र कुनै पनि दुई वटा आसन्न तहमा ईंटहरुको मिलान समनुरूप हुनुहुदैनथ्यो । [६]

(Hayashi 2005, p. 363)का अनुसार, शुल्ब सूत्र मा " पाइथागोरसको प्रमेयको सबै भन्दा प्रारंभिक प्रचलित मौखिक व्याख्या समावेस भएको छ । हुन त यसका बारेमा प्राचीन बेबीलोनीहरुलाई पहिले देखिनै जानकारी थियो ।"

कुनै दीर्घाकार (आयताकार) आकृतिको कोणीय (विकर्ण) सूत्र (akṣṇayā-rajju ) तेर्सो र ठाडो दुइटैको किनारा (पार्श्वमनी ) (pārśvamāni) र क्षैतिज (tiryaṇmānī ) <सूत्र> अलग-अलग उत्पन्न गर्दछन् ।"[७]

किनकि कथन एउटा सूत्र (sūtra) हो । सूत्रहरु(रस्सी) द्वारा प्राप्त तथ्यलाई व्याख्या नगरी संदर्भ अनुसार स्पष्ट रूपबाट संभवतः एक शिक्षकद्वारा छात्रलाई सम्झाइने गरिन्थ्यो । [७]

यसमा पाइथागोरी त्रयी [८] को सूचिहरु पनि उल्लेख भएको छ र ती डायोफेंटाइन समीकरणहरुका विशेष अवस्था हुन । [९] यसमा वृत्तलाई वर्गमा र "वर्गलाई वृत्तमा रुपान्तर"बारेका कथन पनि विद्यमान छन्.[१०]

बौधायन (आ. ८औं सताब्दी ईसा पूर्व)ले सबै भन्दा प्रसिद्ध 'शुल्ब सूत्र , बौधायन शुल्ब सूत्रको रचना गरेका थिए । यसमा पाइथागोरी त्रयीको सरल उदाहरण - जस्तै : (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17),  (7, 24, 25), र (12, 35, 37)[११] दिइएको छ । यसका साथै एउटा वर्गको भुजाहरू सम्बन्धि पाइथागोरस प्रमेयको कथन पनि छ: " वर्गको विकर्णको डोरीमा बनाइएको वर्ग वास्तविक वर्गको दुई गुना हुन्छ।"[११] यसमा पाइथागोरस प्रमेय (आयतका किनारहरुको लागि)को सामान्य कथन पनि उल्लेख छ: "एक आयतको विकर्णको वर्ग ऊर्ध्वाधर र क्षैतिज किनाराहरुको वर्गको योग हुन्छ ।"[११]

गणितज्ञ एस.जी. डानीका अनुसार (आकलित) 1850 ईसा पूर्वमा लेखिएको बेबीलोनी कीलाछर अंकित ढ्याकहरु (क्यूनीफर्म टेबलेट : प्लिम्पटन 322 )मा 1850 बीसीई(BCE)[१२] मा केही ठूला प्रविष्टीयुक्त (१३५००, १२७०९, १८५४१) पाइथागोरी त्रयी पाइएको छ ।यो एउटा आदिकालिन त्रयी हो ।[१३] , १५ वटा पाइथागोरी त्रयीयुक्त यी ढ्याकहरुले के संकेत दिन्छन भने १८५० ई पू(BCE)मा मेसोपोटामियामा त्रयीबारेको सोच परिष्कृत भई सकेको थियो । " यी ढ्याकहरु शुल्ब सूत्र कालभन्दा धेरै शताब्दि पहिलेको भएकोले यस्तो स्वरूप बारेको यस किसिमको सोच आर्यहरुमा पनि रहेको हुनु पर्दछ ।[१४] डानी अगाडि भन्दछन्:

"'शुल्बसूत्र को मुख्य उद्देश्य वेदीहरुको संरचना र सम्बध्द ज्यामितीय सिद्धान्तहरुको वर्णन गर्न थियो, पाइथागोरी त्रयीको विषयमा शुल्बसूत्र मा स्पष्ट रुपमा केही भनिएको पाइन्न तर ती त्रयीहरु वास्तुकला वा अन्य सम्बन्धित व्यावहारिक विषयमा लेखिएको एउटा परिचयात्मक पुस्तकमा हेर्न सकिन्छ,तर दुर्भाग्यवश कुनै अन्य समकालीन स्रोत उपलब्ध नरहेकोले यस समस्याको चित्तबुझ्दो समाधान कहिल्यै पनि संभव नहुन सक्छ।[१४]

जम्माजम्मी तीन वटा शुल्ब सूत्रहरुको रचना भएको थियो । बौधायन बाहेक अन्य दुई मानव ( उत्कर्ष 750-650 ईसा पूर्व) द्वारा रचित मानव शुल्ब सूत्र र आपस्तंब (आ 600 ईसा पूर्व) द्वारा रचित आपस्तंब शुल्ब सूत्र हरु पनि बौधायन शुल्ब सूत्र को जस्तै विषयवस्तुमा केन्द्रित छन ।

उत्तम काल (क्लासिकल पिउँरियड)[सम्पादन गर्ने]

भछाली लिखत मा केही सीमित ज्यामितिय समस्याहरु (अनियमित ठोस पदार्थ सम्बन्धित केही समस्याहरु ) पाइएका छन् । यसमा "शून्यको लागि एउटा बिंदु सहित एक दशमलव स्थानको मूल्य प्रणालीको प्रयोग भएको पाइन्छ ।"[१५] आर्यभटको आर्यभटीय (४९९ ई)मा पनि क्षेत्रफल र आयतनको गणना समावेस भएको पाइन्छ ।

ब्रह्मगुप्तले ६२८ ई.मा आफ्नो खगोलीय पुस्तकBrāhma Sphuṭa Siddhāntaको रचना गरेका थिए ।यसको अध्याय १२ मा ६६ संस्कृत भाषाका श्लोक (पद्य) छन् । दुई खण्डमा विभाजित यस अध्यायको पहिलो खण्डमा " आधारभूत क्रियाहरु " (घनमूल, भिन्न, परिमाण एवं अनुपात र विनिमय सहित) र "व्यावहारिक गणित" (मिश्रण, गणितीय श्रृंखलाहरु, साधारण आंकडा, ईंटहरुको गारो लगाउन, काठ काटन र अन्नपातको हरहिसाब सहित).[१६] र दोस्रो खंडमा ज्यामितीय समस्याहरु लगायत एउटा चक्रीय चतुर्भुजको विकर्ण सम्बन्धी आफ्नो प्रसिद्ध प्रमेयको उल्लेख गरेका थिए । [१६]

ब्रह्मगुप्तको प्रमेय: एउटा चक्रीय चतुर्भुजका विकर्णहरु परस्पर लंब भए विकर्णहरुको प्रतिच्छेदन बिंदुबाट तानिएको लम्बले विपरीत पक्षहरुलाई संधै समद्विभाजन गर्दछ ।

अध्याय 12मा चक्रीय चतुर्भुजको क्षेत्रफलको सूत्र (हेरोनका सूत्रको एक सामान्यीकरण) पनि दिइएको छ :

ब्रह्मगुप्तको सूत्र: क्रमशः , बी , सीडी भुजाहरु भएको एक चतुर्भुजको क्षेत्रफल भए :

 A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

जहाँ अर्द्धपरिमाप, एसको मान यस प्रकार छ:  s=\frac{a+b+c+d}{2}.

परिमेय त्रिकोणहरु मा ब्रह्मगुप्तको प्रमेय:' a, b, c परिमेय पक्षहरु वाला एक त्रिकोण र तर्कसंगत क्षेत्रफल निम्नलिखित स्वरूपको हुन्छ:

a = \frac{u^2}{v}+v, \ \ b=\frac{u^2}{w}+w, \ \ c=\frac{u^2}{v}+\frac{u^2}{w} - (v+w)

केहि परिमेय संख्याहरु u, v,  w को लागि.[१७]

चिनिया ज्यामिति[सम्पादन गर्ने]

[File:九章算術.gif|thumb|right|२२०px|१७९ ई.मा पहिलो पल्ट संकलित गरिएको गणितीय कलाका नौ अध्याय (नौ खण्डे गणित) ( द नाइन चैप्टर्स औन द मैथेमेटिकल आर्ट ), लि यू द्वारा तेस्रो सताब्दीमा टिप्पणी सहित सम्पादित ]] चीनको पहिलो अधिकारिक ज्यामितीय रचना (वा सबैभन्दा पुरानो उपलब्ध रचना) प्रारम्भिक उपयोगितावादी दार्शनिक मोजी (४७० ई.पू.-३९० ई.पू.)को मोजी सिद्धान्त का रुपमा चर्चित मो जिंग थियो । यो उनको मृत्युपछि उनका परवर्ती अनुयायीहरुद्वारा ३३० ई.पू. ताका संकलित गरिएको थियो.[१८] मो जिंग चीनको ज्यामितिको सबैभन्दा पुरानो पुस्तक हो । यस भन्दा पनि पुरानो लेख्य ज्यामितिको संभावना लाई नकार्न सकिन्न । हुन त 'किन(Qin)' राजवंशका शासक किन(Qin) शि भयोंग ( शासनकाल 221 ई.पू.-210 ई.पू.)को पालामा पुस्तकहरु जलाइएको कुख्यात घटनाका कारण त्यस समयका परिष्कृत र उल्लेख्य संख्यामा रहेको लिखित साहित्यको भन्डार नष्ट भएको थियो । यस बाहेक मो जिंग गणितमा ती ज्यामितीय अवधारणाहरु प्रस्तुत भएको छ जुन तिनताका शायद त्यति अधिक उन्नत थिएनन र तिनका कुनै पछिल्ला ज्यामितीय आधार पनि थिएनन् ,न त कुनै गणितीय पृष्ठभूमि नै थियो जसमा टेकेर् उभिन सकियोस ।

मो जिंग मा भौतिक विज्ञानसंग सम्बन्धित धेरै क्षेत्रहरुका विभिन्न पछहरुको वर्णन गरिएको थियो र साथै यो गणितीय सुचनाहरुको एउटा सानो संग्रह पनि थियो । यसले ज्यामितीय बिंदुको 'परमाणविक' परिभाषा यस प्रकार दिएको थियो : एक रेखालाई धेरै भागहरुमा अलग-अलग विभाजन गर्रिसकेपछि कुनै शेष भाग नरहने अवस्थाको अन्तिम भाग बिन्दु हुनेछ । यस प्रकार कुनै रेखाको अन्तिम छेउ एक बिंदुका रूपमा हुनेछ।[१८] धेरै हदसम्म यूक्लिडको पहिलो र तेस्रो परिभाषाहरु र प्लेटो को 'एक रेखाको शुरुआत'को तरिका मो जिंग ले भनेको "एक बिंदु प्रसवका बेला रेखाको सिरमा वा अन्तिममा रहन्छ। (यसको अदृश्यता बाहेक ) यसमा कुनै पनि समानता छैन।"[१९] डेमोक्रिटसको परमाणुविदहरु झै मो जिंग ले भने : बिंदु एउटा सबैभन्दा सानो एकाइ हो र यसलाई दुई भागहरुमा विभाजन गर्न सम्भव छैन किनभने "शून्य"लाई दुई टुक्रा पार्न सकिन्न ।[१९] खाली स्थान र घिरे भएका स्थानका सिद्धान्तहरु सहित-साथ समानांतर रेखाहरु [२०] को लागि र लंबाइहरुको तुलना को लागि परिभाषाहरु दिंदै, यसमा भनिएको थियो : समान लंबाईका दुई रेखाहरुको पुछार संधै एउटै स्थान [१९] मा समाप्त हुन्छ । [२१] यसमा यस तथ्यको पनि वर्णन गरिएको थियो कि मोटाईको गुणवत्ताका बगैर समतलहरुलाई बढाया नजान सक्छ किन भने ती आपसमा एक दोस्रोलाई स्पर्श नगर सक्दछन्.[२२] यस पुस्तकमा मात्रा (आयतन)को परिभाषाका साथै परिधि, व्यास र त्रिज्याको परिभाषाहरु पनि दिइएको छ । [२३]

दी सी आइल्याण्ड गणितीय मैनुअल, लियू भए, तेस्रो सताब्दी.

चीनमा हान राजवंश (२०२ ई.पू.-२२० ई.) कालमा गणितले एउटा नया उत्कर्ष प्राप्त गरेको देखिन्छ । ज्यामितीय प्रगति प्रस्तुत गर्ने सबैभन्दा पुरानो चिनिया गणितीय ग्रंथहरुमा एक पश्चिमी हान युगको बेलाको १८६ ई.पू.को शुआन शू शू (Suàn shù shū) थियो। गणितज्ञ, आविष्कारक र खगोल विज्ञानी झांग हेंग (७८-१३९ ई.)ले गणितीय समस्याहरु हल गर्नका लागि ज्यामितीय सूत्रहरुको प्रयोग गरेका थिए । हुन त झाऊ ली (ईसा पूर्व दोस्रो सताब्दीमा संकलित)[२४] ले पाई () को मोटामोटी मान ७३०/२३२ (वा लगभग ३.१४६६) दिएका थिए । तर झु चग झि(४२९-५०० ई) लगायत पछिल्ला चिनिया गणितग्यहरुले यो मानलाई परिमार्जन गर्ने प्रयास नगरेका होइनन । गोला (स्फेयर) को आयतन निकालनको लागि पाईको यो मानको सट्टा १० को वर्गमूल (वा लगभग ३.१६२)को उपयोग गरेको पाइन्छ । झु चंग झि ले एउटा अर्को सूत्रको पनि प्रयोग गरेका थिए जसमा पाई को मान ३.१४१५९२६ र ३.१४१५९२७को बीचको थियो ३५५/११३ (密率, मिलु (Milü), विस्तृत अनुमान) र २२/ (约率, युलू (Yuelü), मोटे गरिमा अनुमान) यो एउटा उल्लेखनीय अनुमान थियो।[२५] पछिल्लो रचनाहरुको तुलनामा फ्रांसेली गणितज्ञ फ्रांसिस्कस विएटा (१५४०-१६०३) द्वारा दिइएको पाईको सूत्र झूका अनुमानहरुको बिचको थियो ।

===  नौ खण्डे गणित / गणितिय कलाका नौ अध्याय (नाइन चैप्टर्स औन द मैथेमेटिकल आर्ट ) ===

गणितीय कलाका नौ अध्याय , यो शीर्षक पहिलो पल्ट १७९ ई.मा एउटा कांस्य शिलालेखमा देखिएको थियो, यसलाई काओ वेई साम्राज्यको तेस्रो सताब्दीका गणितज्ञ लियु भएद्वारा टिप्पणी सहित सम्पादन गरिएको थियो । यस पुस्तकमा ज्यामिति प्रयोग गरिएको समस्याहरु जस्तै कि वर्गहरु र वृत्तहरुको सतहको क्षेत्रफल निकाल्न, विभिन्न त्रिआयामि आकृतीहरुको आयतन निकाल्न र साथै पाइथागोरस प्रमेयको प्रयोग पनि यसमा समावेश गरिएको थियो। यस पुस्तकमा पाइथागोरस प्रमेय[२६] को लागि सचित्र प्रमाण प्रस्तुत गरिएको थियो । साथै समकोण त्रिभुजका गुणहरु बारे झाऊका पूर्व ड्यूक र शांग गाओका बीच भयेको एउटा लिखित संबाद र पाइथागोरस प्रमेय पनि संलग्न थियो।[२७] संपादक लियु भएले १९२ पदिय बहुभुजको उपयोग गरि पाई को मान ३.१४१०१४का रूपमा सूचीबद्ध गरेका थिए र त्यसपछि ३०७२ पदीय बहुभुजको प्रयोग गरि पाईको मान ३.१४१५९ स्थापना गरेका थिए । यो लियु भएका समकालीन ईस्टर्न वूका गणितज्ञ र खगोल शास्त्री,औंग फैनको तुलनामा बढी दुरुस्त थियो । तिनले १४२/४५को प्रयोग गरी पाई को मान ३.१५५५ यकिन गरेका थिए । [२८] लियू भएले गहिराई, ऊँचाई, चौडाई र सतहका क्षेत्रफलको टाढाको मापहरुको गणनाको लागि गणितीय सर्वेक्षणका बारेमा पनि उल्लेख गरेका थिए । ठोस ज्यामितिका संदर्भमा तिनले यो निष्कर्ष निकालयो कि आयताकार आधारयुक्त एउटा फेसो (वेज) र यसका दुइटै छडके सतह लाई एउटा स्तुप ( पिरामिड) र चार वटा सतहयुक्त एउटा फेसोका रूपमा रुपान्तर गर्न सकिन्छ ।[२९] तिनले यो पनि पता लगाए कि समलंब आधार र दुइटै ढालू पक्षहरु वाला एक खूंटीलाई एक पिरामिडद्वारा चार पक्षहरु वाला दुई खूंटीहरुमा अलग गरे जान सक्छ।[२९] यसका बाहेक लियू भएले आयतनमा कैवेलियरीका सिद्धान्त सहित-साथ गाऊसीका एलिमिनेशनको पनि वर्णन गरेका थिए. नौ अध्यायहरु (नाइन चैप्टर्स ) मा निम्नलिखित ज्यामितीय वस्तुको छेत्रफल र आयतनको सूत्र सूचीबद्ध भएको पाइन्छ जसको जानकारी पूर्व हान राजवंश (202 बीसीई-9 सीई)का समयसम्म थियो ।

क्षेत्रफल उल्लेख भएका आक्रिति ' [३०]

  • वर्ग
  • आयत
  • वृत्त
  • समद्विबाहु त्रिकोण
  • असमांतरभुज
  • विषमकोण
  • समलम्ब
  • दोब्बर समलम्ब
  • वृत्तखण्ड
  • वलय (दुई एक केन्द्रिक वृत्तका बीचको छेत्र )

आयतन उल्लेख भएका आक्रिति ' [२९]

  • दुई वटा वर्ग सतहयुक्त षडमुखा
  • षडमुखा
  • पिरामिड
  • वर्ग आधार सहित पिरामिडको फ्रस्टम(छित्रक)
  • पिरामिडका फ्रस्टम(छित्रक) सहित असमान किनारहरुका आयताकार आधार
  • घन
  • प्रिज्म
  • आयताकार आधारयुक्त फेसो (वेज) र यसका दुइटै छडके सतह
  • समलम्ब आधार युक्त फेसो (वेज) र यसका दुइटै छडके सतह
  • चार सतहयुक्त फेसो
  • दोस्रो प्रकारकहरु फेसोको छिन्नक (इंजीनियरिंगमा अनुप्रयोगहरुको लागि प्रयोग गरिन्छ)
  • बेलना (सिलेंडर)
  • गोलाकार आधारयुक्त शंकु
  • एक शंकुको छिन्नक
  • चक्र

त्यस पछि पनि धेरै विद्वानहरु देखा परे जसले प्राचीन चीनको ज्यामितीय परम्परालाई जारी राखे । तीमध्ये प्रसिद्ध खगोलविद र गणितज्ञ शेन कूओ (१०३१ - १०९५ ई.),यांग हुई (१२३८ - १२९८ ई.), र जू गुआंक्वी (१५६२ - १६३३ ई.) मुख्य हुन ।

==इस्लामी ज्यामिति==
अल-जब्र वा-अल-मुकबिलाह को एउटा पृष्ठ
समग्र    मध्य पूर्व, उत्तरी अफ्रीका, स्पेन, पोर्चुगल र   पर्सिया       (फारस)का केही  छेत्रहरुमा स्थापित इस्लाम धर्म खिलाफतको  थालनी   ६४० ई ताका  भएको थियो ।  यस अवधिमा  इस्लामी गणितज्ञहरु ज्यामिर्तिग्यं भन्दा पनि    मुख्य रूपबाट बीजगणितग्यं  थिए । हुन त ज्यामिति को छेत्रमा पनि महत्वपूर्ण कार्य  भएको थियो । यूरोपमा छात्रवृत्तिको  कटौति हुनुले  अंततः पुरातन  युनानी ( हेलेनिस्टिक) रचनाहरु तिनका  हातबाट फुत्के । र  शिक्षाका इस्लामी केन्द्रहरुमा केन्द्रित  हुन पुगे ।

हुन त मुस्लिम गणितज्ञहरुलाई बीजगणित, संख्या सिद्धान्त र संख्या प्रणालीहरुमा निकै ख्याति मिलेको छ । तिनीहरुले ज्यामिति, त्रिकोणमिति र गणितीय खगोल विज्ञान को छेत्रमा निकै योगदान दिएका छन् र ती बीजगणितीय ज्यामितिको विकासको लागि पनि जिम्मेदार थिए। हुन त धेरैजसो मुस्लिम गणितज्ञहरुले ज्यामितीय परिमाणहरुलाई "बीजगणितीय वस्तुहरु"का रूपमा व्याख्या गरेका थिए ।

मोहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मीका उत्तराधिकारी, जुन फारसी विद्वान, गणितज्ञ र खगोलविद थिए, हरुले गणितमा गणना विधि को आविष्कार गरेका थिए जुन अचेल कम्प्यूटर विग्यान (जन्म 780)को आधार बन्न पुगेको छ, जसले अंकगणितबाट बीजगणित, बीजगणितबाट अंकगणित, दुइटैबाट त्रिकोणमिति, बिजगणितबाट संख्याहरुको यूक्लिडिय सिद्धान्त, बीजगणितबाट ज्यामिति र ज्यामितिबाट बीजगणितका क्रमागत अनुप्रयोगको कार्य गरेकाछन्। यसै तरिकाबाट बहुपदीय बीजगणित, संयोगात्मक विश्लेषण, संख्यात्मक विश्लेषण, समीकरणहरुको अङ्कीय समाधान, संख्याहरुका नयाँ प्राथमिक सिद्धान्त र समीकरणहरुका ज्यामितीय ढांचाको रचना भएको थियो ।

अल महानी (जन्म 820)ले ज्यामितीय समस्याहरु जस्तै कि बीजगणितको समस्याहरुको लागि तृतीय घातको द्विरावृत्तिलाई न्यून पार्ने कल्पना गरेका थिए । अल काराजी (जन्म (953)ले बीजगणितलाई ज्यामितीय गतिविधीहरुबाट पूर्णत: मुक्त गरि दिए र त्यो ठाँउ अंकगणितीय प्रकारकहरु ले ओगटे जुन आज पनि बीजगणितको आधार रुपमा विद्यमान छ।

अल्ब्रेक्ट ड्यूरेरको एक उत्कीर्णन जसमा माशाअल्लालाई देखाइएको छ; डी साईनटिया मोटस र्बिसका शीर्षक पृष्ठबाट (एनग्रेविंग सहित ल्याटिन संस्करण, 1504).जस्तो कि धेरै मध्ययुगीन चित्रहरुमा देखिन्छ, यहाँ कम्पासलाई धर्म तथा विज्ञानको एउटा प्रतीक को रुपमा संदर्भित गरिएको छ ।

थाबित परिवार र अन्य प्रारंभिक ज्यामितिग्यंहरु[सम्पादन गर्ने]

थाबित इब्न कुर्रा (जसलाई ल्याटिनमा थेबिटका रूपमा जानिन्छ) जन्म (836)ले गणितका धेरै क्षेत्रहरुमा योगदान दिएका छन् । तिनले संख्यालाई (सकारात्मक) वास्तविक संख्याहरुमा विस्तारको अवधारणा, समाकलन (इंटीग्रल कैलकुलस), गोलीय त्रिकोणमितिका प्रमेयहरु, विश्लेषणात्मक ज्यामिति र अयूक्लिडिय ज्यामिति जस्ता महत्वपूर्ण गणितीय खोजहरुको लागि मार्ग तयार गर्ने महत्वपूर्ण भूमिका निर्वाह गरे । खगोल विज्ञानमा थाबित टलेमीय प्रणालीका आदि सुधारकहरु मध्येका एक थिए र ती स्टैटिक्सका एक संस्थापक थिए। थाबितको रचनाहरुको एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय पछ अनुपातहरुको संरचनामा थियो । यस पुस्तकमा थाबित ज्यामितीय मात्राहरुका अनुपातहरुको लागि प्रयोग गरिएको(थियो) अंकगणितीय अपरेशनहरुका बारेमा बताउँछन्. यूनानीहरुले ज्यामितीय मात्राहरु सहित काम गरेका थिए किन भनें तीहरुले यिनको बारेमा उसलाई तरिकाबाट नसोचा थियो जस्तो कि अंकगणितका सामान्य नियमहरुलाई ला गू गर्नमा गरे जानसक्थ्यो। पहिले ज्यामितीय र गैर-संख्यात्मक मानी जाने वाला मात्राहरुमा अंकगणितीय अपरेशनहरुको शुरुवात गर थाबितले एक यस्तो प्रवृत्ति शुरू गरिएको थियो जसबाट अंततः संख्याको अवधारणाको सामान्यीकरण संभव भयो।

केहि मामलाहरुमा, विशेष रूपबाट गतिका संदर्भमा थाबित प्लेटो र अरस्तूका विचारहरुका आलोचक छन्. यस्तो प्रतीत हुन्छ कि यहाँ तीका विचार तीका ज्यामितीय तर्कहरुमा गतिका संदर्भमा तर्कहरुका उपयोगको स्वीकृतिमा आधारित छन्. ज्यामितिको लागि थाबितको एक अन्य महत्वपूर्ण योगदान तीका द्वारा पाइथागोरस प्रमेयको सामान्यीकरण छ, जसमा तीहरुले एक सामान्य प्रमाण सहित विशेष समकोणहरुलाई साधारण गरिमा सबै त्रिकोणहरुमा विस्तारित गरेका थिए.[३१]

इब्बाटोीम इब्न सिनान इब्न थाबित (जन्म 908), जिन्हहरुने आर्किमिडीजको तुल्नुमा कहीं अधिक सामान्य इंटीग्रेशनको एक विधि पेश गरिएको थियो र अल कूही (जन्म ९४०) इस्लामिक जगतमा यूनानी उच्च-स्तरीय ज्यामितिका पुनरोद्धार र यसको निरंतरतामा अग्रणी अनुहार थिए। यी गणितज्ञहरु र विशेष रूपबाट इब्न अल-हेथामले औप्टिक्सको अध्ययन गरे र शंक्वाकार भागहरुबाट बने दर्पणहरुका औप्टिकल गुणहरुको जाउँच गरे।

खगोल विज्ञान, टाइम-कीपिंग र भूगोलले ज्यामितीय र त्रिकोणमितीय अनुसंधानको लागि अन्य प्रेरणाहरु प्रदान गरे। उदाहरणको लागि इब्बाटोीम इब्न सिनान र तीका हजुरवुवा थाबित इब्न कुर्रा दुइटैले धूप-घडीहरुका निर्माणमा आवश्यक वक्रताहरुको अध्ययन गरे. अबू अल-वफा र अबू नस्र मंसूर दुइटैले खगोल विज्ञानमा गोलीय ज्यामितिको प्रयोग गरे.

ज्यामितीय वास्तुकला[सम्पादन गर्ने]

हालका खोजहरुबाट पता चल्यो छ कि ज्यामितीय कवासीक्रिस्टल पद्धतीहरुलाई सबै भन्दा पहिले पाँच सदीहरुबाट पनि अधिक समय पहिलेको मध्ययुगीन इस्लामी वास्तुकलामा पाए जाने वाला गिरिह टाइलहरुमा प्रयोग गरिएको थियो. २००७मा हार्वर्ड विश्वविद्यालयका प्रोफेसर पिउँटर लू र प्रिंसटन विश्वविद्यालयका प्रोफेसर पल स्टेनहार्ड्टले साइंस पत्रिकामा यस सुझाव सहित एक दस्तावेज प्रकाशित गरेका थिए कि गिरिह टाइलिंगमा मौजूद विशेषताहरु स्वतः-समान आंशिक क्वासीक्रिस्टलाइन टाइलिंगको निरंतरतामा थियो जस्तै कि पेनरोज टाइलिंग, जसको सम्बन्ध तीबाट पाँच सदीहरु पहिलेबाट थियो।[३२][३३]

आधुनिक ज्यामिति[सम्पादन गर्ने]

१७ औं शताब्दि[सम्पादन गर्ने]

अन्धकार युगबाट बाहिर निस्कंदै गर्दा यूरोपले  इस्लामी पुस्तकालयहरुमा  विद्यमान  ज्यामितिका हेलेनिस्टिक र इस्लामी ग्रंथहरु  अरबीबाट  ल्याटिनमा अनुवाद गरायो । यूक्लिडको  मूलतत्व   इलिमेण्टस्  अफ ज्योमेट्री मा     रहेका   कठिन निगमनात्मक  विधिहरुको पून:अध्ययन गरियो  । फलत : आगामी दिनहरुमा  यूक्लिडीय ज्यामिति एवं खय्यामी  (बीजगणितीय ) ज्यामिति  दुबैको   शैलीहरुमा ज्यामितिको विकासको  क्रम जारी रहयो   जसको  परिणाम स्वरूप अझ  गहन    र  नयाँ  नयाँ प्रमेयहरु र सिद्धान्तहरुको   प्रतिपादन  भयो । 
रेने डेसकार्टेसद्वारा डिसकोर्स औन मैथड्स

१७ औं शताब्दिको आरम्भमा ज्यामितिमा दुई महत्वपूर्ण घटनाहरु भएं । पहिलो र सबैभन्दा महत्वपूर्ण घटना रेने डिस्कार्टस (१५९६-१६५०) र पियरे डी फर्मेट (१६०१-१६६५) द्वारा विश्लेषणात्मक ज्यामिति वा समीकरण युक्त ज्यामितिको रचना थियो । यो कलन गणितभौतिकीको मात्रात्मक विज्ञानको विकासको लागि अपरिहार्य अग्रदूत साबित भयो । दोस्रो महत्वपुर्ण ज्यामितीय घटना गिरार्ड डिसार्ग्यु (१५९१-१६६१) द्वारा प्रक्क्षेपीय ( प्रो-113.199.240.82 (कुरा गर्ने) १४:०८, २७ मे २०१३ (युटिसी(UTC))जेक्टिव) ज्यामितिको क्रमबद्ध अध्ययनका रूपमा थियो । प्रछे पिय ( प्रोजेक्टिव ) ज्यामिति अमापीय ज्यामिति हो । यस क्षेत्रमा हेलेनिस्टिक ज्यामितिकारहरु मध्ये पैप्पस (आ ३४०) उल्लेखनीय छन । तिनले यस छेत्रमा केही आरम्भिक कार्य गरेका थिए। यस छेत्रमा महानतम र् उल्लेखनीय कामभने जीन विक्टर पोन्सिलेट (१७८८-१८६७) ले गरेका थिए ।

१७औं शताब्दिको उत्तरार्द्धमा आइज्याक न्यूटन (१६४२-१७२७) र गटफ्रेड विल्हेल्म लेइबनिज (१६४६-१७१६) द्वारा स्वतन्त्र रूपबाट र लगभग संगै कलन गणित विकसित गरिएको थियो । यो गणितको एउटा नयाँ क्षेत्रको थालनि थियो जसलाई अचेल विश्लेषण गणित (एनालिसिस) भनिन्छ। हुन त यो आफैं ज्यामितिको कुनै शाखा त होइन तर पनि ज्यामितिमा यसको प्रयोग हुन्छ । वक्रको वक्रता नाप्न , विषम वक्रहरुका स्पर्श रेखाहरु पता लगाउन र ती वक्रहरुबाट परिवेस्टित क्षेत्रफलहरु पता लगाउन लगायत कतिपय समस्याहरुको समाधानमा कलन गणित निकै उपयोगी पाइयो ।

१८औं र १९औं शताब्दि[सम्पादन गर्ने]

अयूक्लिडिय ज्यामिति[सम्पादन गर्ने]

यूक्लिडको चार अभिधारणाहरुको सहयोगबाट उनको पांचौं अभिधारणा, "समानांतर अभिधारणा"प्रमाणित गर्ने निकै प्रयासहरु भये । हुन त उमर खय्याम पनि समानांतर अवधारणालाई प्रमाणित गर्न असफल रहे । यूक्लिडका समानांतर अभिग्रहण सिद्धान्तहरुको आलोचनाहरु र अयूक्लिडिय ज्यामितिमा संख्याहरुका गुणहरुका प्रमाणले अंततः अयूक्लिडिय ज्यामितिको विकासमा योगदान दिेएको थियो। सन १७०० मा पहिलो चार अभिधारणाहरुलाई प्रमाणित गर्न र पांचौं अधारणालाई प्रमाणित गर्ने प्रयासमा साचेरी, ल्याम्बर्ट र लिजेन्द्रेहरुले १८औं शताब्दीमा महत्वपुर्ण कार्य गरे । १९औं शताब्दिको प्रारम्भमा गौस, जोहान बोल्याई र लोबाचेव्स्कीले स्वतन्त्र रूपबाट महत्वपुर्ण योगदान दिए । १८५४मा गौसका एक छात्र, बर्नहार्ड रीमैनले ज्यामितिको अध्ययनमा कलनगणितको विधिको प्रयोग गरेका थिए र यस प्रकार एउटा बेग्लै अयूक्लिडिय ज्यामिति विकसित भएको थियो । रीमैनको कार्य पछि अल्बर्ट आइनस्टाइनको सापेक्षताको सिद्धान्तको आधार बन्न पुग्यो ।

विलियम ब्लेकको "न्यूटन", वैज्ञानिक भौतिकवादको 'एकल दृष्टि'का प्रति तिनको विरोधको एउटा प्रदर्शन हो ; यहाँ, आइज्याक न्यूटनलाई दैवी ज्यामितिग्यं (डिवाइन जीयोमीटर)को रूपमा देखाइएको छ 95)

बेल्ट्रामी द्वारा १८६८ मा अयुक्लिडीय ज्यामिति युक्लिडीय ज्यामितिझैं आत्मसंगतिपूर्ण भनी प्रमाणित गरिएपछि अयूक्लिडिय ज्यामिति पनि यूक्लिडिय ज्यामिति को स्तरमा स्थापित हुन पुग्यो ।


गणितीय कठोरता (रिगर)को परिचय[सम्पादन गर्ने]

समानांतर अभिग्रहण सम्बन्धि सबै कार्यहरुबाट यो पता चल्यो कि एक ज्यामितिकारको लागि आफ्नो तार्किक आधारलाई भौतिक जगतका आफ्नो अन्तर्ज्ञानको समझबाट अलग गर्न एकदम मुश्किल थियो र यसका बाहेक यस्तो गर्नका आलोचनात्मक महत्वको पनि पता चला. सावधानीपूर्वक परीक्षणले यूक्लिडको रीजनिंगमा केही तार्किक खामीहरु र केही अनकहे ज्यामितिक सिद्धान्तहरुको खुलासा गरेका थिए जसका बारेमा यूक्लिड कहिले काँही बताया गर्थे. यस आलोचनाले कैलकुलसमा आन वाला मुश्किलहरु र अछैनत प्रक्रियाहरु जस्तै कि अभिसरण र निरंतरताका अर्थका संदर्भमा विश्लेषणलाई समानांतर बनयो दियो. ज्यामितिमा सूक्तीहरु (एग्जिओम्स)का एक नयाँ सेटको स्पष्ट आवश्यक्थ्यो जुन सारा छ सकती थियो र जुन हाम्रा द्वारा बनाए जाने वाला तस्वीरहरु या अन्तरिक्षका बारेमा हाम्रा अन्तर्ज्ञानमा कुनै पनि तरहबाट आधारित छैन। यस तरहको सूक्तिहरु १८९४मा डेविड हिल्बर्ट द्वारा तीका शोध-निबंध ग्रंडलाजेन डर जियोमेट्री (फाउंडेशंस अफ ज्योमेट्री )मा दी गएकोथिइन्. सूक्तीहरुका केही अन्य संपूर्ण सेट यसले केही वर्ष पहिले दिए गए थिए किन भनें यो अर्थव्यवस्था, ला लित्य र यूक्लिडको सूक्तीहरुको समानतामा मेल हिल्बर्टको सूक्तीहरुबाट खादैनथे.

संस्थितिकी ( एनालिसिस साइटस / टोपोलजी)[सम्पादन गर्ने]

१८औं शताब्दीको मध्यतिर यो स्पष्ट भयो कि गणितीय तर्कको केही खास कडिहरु ती समय विकसित भहरु जब संख्या रेखामा, दुई आयामहरुमा र तीन आयामहरुमा यसै तरहका विचारहरु मा अध्ययन गरिएको थियो. यस प्रकार एक मीट्रिक स्पेसको सामान्य अवधारणा बनी थियो जसबाट कि रीजनिंग कहीं अधिक व्यापकतामा हुन सकोस् र यसपछि विशेष मामलाहरुमा यीहरुका प्रयोग गरे जानसके. कैलकुलसका अध्ययनको यो विधि- र विश्लेषण सम्बन्धी अवधारणाहरुलाई एनालिसिस साइटसका रूपमा र त्यस पछि टोपोलजीका रूपमा जान गया. यस क्षेत्रमा महत्वपूर्ण विषय थिए कहीं अधिक सामान्य आंकडहरुका गुण जस्तै कि सीधापन, र लम्बाई एवं कोणीय मापहरुको सटीक गुणवत्ता जस्तै गुणहरुको सट्टा संयुक्तता र सीमाहरु, जुन यूक्लिडियन र गैर-यूक्लिडियन ज्यामितिका केन्द्र रहे थिए। टोपोलजी चाँडै नैं ज्यामिति या विश्लेषणका एक उप-क्षेत्रको सट्टा प्रमुख महत्वको एक अलग क्षेत्र बन्यो.

२०औं सदी[सम्पादन गर्ने]

बीजगणितीय ज्यामितिका विकासमा परिमित क्षेत्रहरु मा वक्रहरु र सतहहरुका अध्ययनलाई शामिलेरे गेको थियो जस्तो कि आंद्रे वील, एलेक्जेंडर ग्रोथेंडीक र जीन-पियरे सेरे सहित धेरै अन्यका कार्यहरु सहित-साथ वास्तविक या जटिल संख्याहरुमा गरिएको(थियो) कार्यहरु द्वारा प्रदर्शित गरिएको थियो. परिमित ज्यामिति स्वयं केवल परिमित धेरै बिन्दुहरु, कोडिंगका सिद्धान्त र क्रिप्टोग्राफीमा पाए गए अनुप्रयोगहरु सहित विभिन्न अन्तरिक्षहरुको अध्ययन थियो। कंप्यूटरका आगमन सहित नयाँ विषय जस्तै कि कम्प्यूटेशनल ज्यामिति या डिजिटल ज्यामिति ज्यामितीय एल्गोरिदम, ज्यामितीय आंकडहरुका असतत प्रतिनिधित्व र यसै तरहका क्षेत्रहरु मा कार्य गर्दछन्.

यो पनि हेर्नुहोस्[सम्पादन गर्ने]

  • ज्यामितिक विषयहरुको सूची
  • ज्यामितिमा प्रकाशित महत्वपूर्ण पुस्तकें
  • इंटरैक्टिव ज्यामिति सफ्टवेयर
  • गणितको इतिहास
  • फ्लैटलैंड ; "A" द्वारा लेखित पुस्तक; यो पुस्तक द्वि तथा त्रि-आयामी अन्तरिक्षका विषयमा छ र यसलाई चतुर्थ आयामको अवधारणालाई समझनेको लागि लेखा गएको थियो.

टिप्पणिहरु[सम्पादन गर्ने]

  1. हावर्ड ईव्स, एन इंट्रोडक्शन टू दी हिस्ट्री अफ मैथमेटिक्स , सौन्डर्स, 1990, आएएसबीएन 0030295580 पिउँ. 141: "नो वर्क, एक्सेप्ट दी बाइबलनित, हेज बीन मोर वाइड्ली यूज्ड......."
  2. २.० २.१ रे सी. जरजेसेन, अल्फ्रेड जे. डनेली, र मैरी पिउँ. डोल्सियेनी. एडिटोरियल एडवाइजर्स हरुड्रयू एम. ग्लेसन, अल्बर्ट अलबर्ट ई. मेडर, जूनियर मडर्न स्कूल मैथमेटिक्स: ज्योमेट्री (छात्र संस्करण) ह्यूटन मिफ्लिन कम्पनी, बोस्टन, 1972, पिउँ. 52. आएएसबीएन 0-395-13102-2. शिक्षक संस्करण आएएसबीएन 0-395-13103-0.
  3. ईव्स, अध्याय 2.
  4. ए. सिडेनबर्ग, 1978. गणितको उत्पत्ति. सटीक विज्ञानका इतिहासको लागि पुरालेख, वल्यूम 18.
  5. (Staal 1999)
  6. ६.० ६.१ (Hayashi 2003, p. 118)
  7. ७.० ७.१ (Hayashi 2005, p. 363)
  8. पायथागरियन ट्रिपल, निम्न गुण सहित  (a,b,c) त्रयी पुर्णान्क छन्: a^2+b^2=c^2. यस प्रकार, 3^2+4^2=5^2 , 8^2+15^2=17^2 , 12^2+35^2=37^2 आदि.
  9. (Cooke 2005, p. 198) "शुल्ब सूत्रको अंकगणितीय सामग्रीमा पाइथागोरी त्रयी बनाउने नियम उल्लेख भएको छ , जस्तै - (3,4,5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), र (12, 35, 37) आदि । तर यी अंकगणितीय नियमहरुको व्यावहारिक उपयोग के थियो भन्नेबारे स्पष्ट उल्लेख भएको पाइदैन । यस्ता कुराहरु धार्मिक अनुष्ठानका अंग थिए भन्नेसम्मको अनुमान सम्म चाहि गर्न सकिन्छ । एउट हिंदू घरमा यो आवश्यक थियो कि तीन अलग-अलग वेदीहरुमा आगो बल्दै रहोस । तीन वटा वेदीहरुको आकार अलग-अलग हुन्थ्यो तर क्षेत्रफल समान हुनु पर्दथ्यो । अतएव: "डायोफेंटाइन" असमिकरण समस्या देखियो र पाइथागोरी त्रयीको उत्पत्ति भयो । यसको एउटा विशिष्ट उदाहरण हो - एउटा वर्ग संख्यालाई अन्य दुईको जोडसंग बराबर पारिनु ।"
  10. (Cooke 2005, pp. 199–200): "अलग अलग आकारको र बराबर क्षेत्रफल भएको तीनवटा हवनकुण्डको आवश्यकताले क्षेत्रफलको रूपांतरणको चासोमा प्रकाश पार्न सक्छ। हिंदुहरुद्वारा प्रयोगमा ल्याइने गरिएको क्षेत्रफलको रूपांतरणको अन्य समस्याहरु पनि यसमा समावेस भएको छ ,जस्तै : चक्रलाई वर्गमा रुपान्तर गर्ने समस्या । बौधायन शुल्बसूत्र मा यसको विलोम समस्याको उल्लेख गरिएको छ । दिइएको वर्गसंग बराबर हुने एउटा व्रित्त निर्माण गर्न निम्नलिखित अनुमानित निर्माणालाई समाधानका रूपमा दिइएको छ .... यो परिणाम केवल अनुमानित छ। हुन त, लेखक दुइ परिणामहरुका बीच कुनै अन्तर ठान्दैनन् । यस प्रक्रियामा π को मान (3 - √ 2 2) दिइएको छ, जुन लगभग 3.088हुन आउछ ।"
  11. ११.० ११.१ ११.२ (Joseph 2000, p. 229)
  12. गणित विभाग, ब्रिटिश कोलंबिया यूनिभर्सिटी, दी बेबीलोनियन टेबल्ड प्लिम्पटन 322 .
  13. तीन पोजिटिव इंटीजर (a, b, c) एक प्रिमिटिव पाइथागोरस ट्रिपलको निर्माण गर्नुहोस  c^2=a^2+b^2 छ र यदि  a, b, c को म स 1 छ । विशेष प्लिम्पटन 322 उदाहरणमा, यसको अर्थ छ  13500^2+ 12709^2= 18541^2 ; र यी तीनसंख्याहरुको कुनै साझा गुणनखन्ड छैन। हुन त केही विद्वानहरुले पाइथागोरसले यी ढ्याकहरुको व्याख्यालाई अस्विकार गरेको भनेका छन । विस्तृत विवरणको लागि Plimpton 322 हेर्नुहोस्.
  14. १४.० १४.१ (Dani 2003)
  15. (Hayashi 2005, p. 371)
  16. १६.० १६.१ (Hayashi 2003, pp. 121–122)
  17. (Stillwell 2004, p. 77)
  18. १८.० १८.१ नीड्हेम, वल्यूम 3, 91.
  19. १९.० १९.१ १९.२ नीड्हेम, वल्यूम 3, 92.
  20. नीड्हेम, वल्यूम 3, 92-93.
  21. नीड्हेम, वल्यूम 3, 93.
  22. नीड्हेम, वल्यूम 3, 93-94.
  23. नीड्हेम, वल्यूम 3, 94.
  24. नीड्हेम, वल्यूम 3, 99.
  25. नीड्हेम, वल्यूम 3, 101.
  26. नीड्हेम, वल्यूम 3, 22.
  27. नीड्हेम, वल्यूम 3, 21.
  28. नीड्हेम, वल्यूम 3, 100.
  29. २९.० २९.१ २९.२ नीड्हेम,वल्यूम 3, 98-99.
  30. नीड्हेम, वल्यूम 3, 98.
  31. आय्दीन साईली (1960). "थाबित इब्न कुर्राज द्वारा पाइथागोरस प्रमेयको सामान्यीकरण", इसीस 51 (1), पृष्ठ 35-37.
  32. Peter J. Lu and Paul J. Steinhardt (2007), "Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture", Science 315(5815): 1106–1110, PMID 17322056, doi: 10.1126/science.1135491 , <http://www.physics.harvard.edu/~plu/publications/Science_315_1106_2007.pdf> 
  33. सप्लीमा टल फिगर्स

संदर्भ[सम्पादन गर्ने]

बाह्य कडिहरु[सम्पादन गर्ने]